ARICULO 3.

MATEMATICAS Y TECNOLOGÍA

Si pensamos en tecnología, seguro que lo primero que se nos viene a la mente es algún aparato complejo, súper novedoso y caro y seguro que tiene un "chip", como ejemplo. En pocas palabras, lo que hacemos es relacionar el término  Tecnología con los objetos técnicos que nos rodean hoy, o tal vez mañana, pero nunca nos detenemos a pensar, en que por ejemplo, si una persona durante sus primeros años de vida cuenta con los dedos, está haciendo tecnología.  O, tal vez si se nos rompe el botón del baño y se realiza un arreglo provisorio con tanza también se está haciendo tecnología. Es decir, TECNOLOGíA es mucho más que aparatos electrónicos y eléctricos, y si miramos hacia atrás en el tiempo, muy atrás podremos ver que es apasionante enterarnos cómo hicieron TECNOLOGÍA nuestros antepasados.
Esa es la idea en este trabajo, la de retroceder miles de años en nuestra historia, y ver que papel jugaban nuestras queridas matemáticas, y en qué ayudaba a los seres humanos esta ciencia en esa época.
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La relación entre las matemáticas y la tecnología:
     La primera relación que es preciso destacar, es que sin matemáticas no hay tecnología, y sin tecnología no hay aplicación concreta de las matemáticas, por lo cual debemos pensar que van de la mano, que se complementan y que esto sucedió siempre, aún en nuestros orígenes.
     La técnica comprende todas las actividades humanas que requieren especialización para la fabricación

de productos varios (por ejemplo, los motores, las máquinas y sus partes, y  todo otro tipo de aparatos). El fundamento de la técnica es la matemática, porque todo lo que se construye es proyectado, experimentado, aprobado y perfeccionado con el auxilio insustituible de los cálculos. Hasta un simple hilo metálico, destinado a la conducción de la electricidad, debe tener un espesor en relación con su largo calculado con exactitud para permitir el paso de una determinada cantidad de corriente.
     Pocos pueden imaginar cuantos cálculos se necesitan, por ejemplo, para construir un nuevo tipo de automóvil: el motor debe efectuar un cierto número de revoluciones para alcanzar una determinada velocidad, consumiendo una determinada cantidad de combustible; las ruedas deben tener un cierto diámetro, y la presión del aire en sus neumáticos debe alcanzar un determinado valor. Es necesario prever el grado máximo de temperatura que puede ser tolerado por los materiales, la resistencia del aire que se opondrá a la forma de la carrocería, el tiempo de desgaste de los distintos órganos del motor, etc. En pocas palabras, se necesitan centenares de miles de cálculos para crear un nuevo tipo de máquina de las que usamos hoy en día.
La naturaleza  le dio al hombre las manos y él hizo las matemáticas?
     Las características anatómicas que diferencian al hombre de los animales y concretamente de sus parientes más allegados, los simios, son: los

miembros inferiores, los miembros superiores y la cabeza.
     Algunos antropólogos afirman que primero evolucionaron los miembros superiores, después los inferiores y finalmente la cabeza pudo alcanzar su forma (y capacidad) actuales.
    
     Apenas apareció sobre la Tierra, el hombre debió proveerse para subsistir y buscar todo lo que necesitaba con la sola ayuda de sus manos; es decir, tuvo que servirse de éstas guiado por su inteligencia y por su ingenio. Luego, la cualidad superior de su mente lo indujo a descubrir "auxiliares" en los objetos que fue encontrando en la naturaleza. Sin duda, se detuvo a observar una piedra, viendo en ella un elemento útil. Esa piedra sería entonces una valiosa herramienta de la cual podría servirse para diversos menesteres; y desde entonces ha seguido descubriendo nuevos elementos de trabajo.
     Las herramientas imitan las posiciones que adopta la mano del hombre, pues ellas fueron el primer modelo; muchos utensilios fueron construidos a imitación de ellas, y sirven para las operaciones en que la mano es insuficiente.
    
   Nadie duda que el hombre sea el único entre los seres vivientes que ha sido capaz de inventar instrumentos y de adecuarlos para sus propios fines.
Los números:
     Probablemente no a todos se nos haya ocurrido preguntar cómo se habrán originado los números, que hoy utilizamos tan corrientemente casi sin reparar en ellos. De todos modos esa pregunta difícilmente

podría contestarse, ya que el origen de los números, como el del lenguaje, se pierde en la lejanía de los tiempos, en la época oscura en que el hombre comenzó a notar que se diferenciaba de los otros seres terrestres. ¿Cuántos somos? ¿Cuántos enemigos vienen? ¿Cuántas ovejas tenemos? Hoy respondemos: tres, mil, un millón, etc.; en aquel entonces, poco a poco, una a una, se habría ido dando nombre a las distintas cantidades.
     Los números son la respuesta a la pregunta ¿Cuántos? En las sociedades primitivas se usaban solo en relación con objetos reales de la existencia cotidiana -cuantas vacas, cuantas casas-, y con unos pocos números era suficiente. Cualquier número "largo" podía ser sumado simplemente como "muchos". Durante miles de años antes de su escritura, los números se expresaban verbalmente y se indicaban con los dedos, con piedras, etc. Los pueblos aprendieron a elaborar registros permanentes de los números de muchas formas, desde los nudos hechos por los incas y conocidos como "quipus", hasta los variados diseños de símbolos para los distintos sistemas.
     Para poder retener, o diferenciar los números, sobre todo cuando las cantidades eran grandes, los hombres fueron, poco a poco, creando símbolos, siguiendo un largo proceso que duraría varios milenios: los números actuales permiten realizar cálculos más difíciles, y más rápidamente, que con las partes del cuerpo.
     Los signos que utilizamos en matemática y que nos

parecen tan triviales y familiares son el fruto de largas reflexiones y discusiones entre científicos de todas las épocas y lugares.
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Las primeras civilizaciones y su sistema de numeración:
     Los mayas (de Centroamérica) utilizaban un sistema de valores basados en 10. Cada numeral estaba hecho de puntos para el 1, y de líneas para el 5, escritos en columnas. Cada paso ascendente en la columna multiplicaba el número por 20.
     Los griegos fueron menos creativos en aritmética, quizá porque su sistema de numeración era muy incómodo. Formaban sus números de manera aditiva y multiplicativa a la vez. Por ejemplo, para escribir 50, ponían el signo que representaba al 10 dentro del signo 5, y para escribir 12000, juntaban los signos correspondientes a 10000 y 2000. Luego, adoptaron un sistema aditivo que utilizaba las letras del alfabeto.
     Los egipcios aproximadamente en la misma época, también habían desarrollado su propia escritura matemática con jeroglíficos. Se conservan menos vestigios de sus cálculos que de los mesopotámicos, ya que, en vez de escribir sobre tablillas de arcilla, los escribas egipcios anotaban todo en papiros muy frágiles.
     Su sistema de numeración no era fácil de manipular. Para diferenciar las unidades de las decenas, de los millares, etc., los egipcios utilizaban signos diferentes que repetían tantas veces como fuera necesario. Para leer una cifra, se sumaban los valores de cada símbolo

utilizado. Un número como 1235 se escribía con un signo de millar, dos signos de centena, tres de decena y cinco de unidad, sin importar el orden en que se los escribía, es decir, con once signos, mientras que la numeración de posición nos permite usar sólo cuatro.
     Estos señores también tenían símbolos para escribir las fracciones: Una boca que representa la unidad (1) se ponía arriba, y abajo se ubicaban los signos correspondientes al denominador. No conocían las fracciones cuyo numerador fuera distinto de 1, entonces, para expresar una fracción como 3/5, la descomponían en 1/2 + 1/10. En el comercio, para medir las cantidades de cereales o de líquidos, los egipcios utilizaban dichas fracciones.
     Los primeros libros egipcios, escritos hacia el año 1800 a.C., muestran un sistema de numeración decimal con distintos símbolos para las sucesivas potencias de 10 (1, 10, 100...), similar al sistema utilizado por los romanos. Los números se representaban escribiendo el símbolo del 1 tantas veces como unidades tenía el número dado, el símbolo del 10 tantas veces como decenas había en el número, y así sucesivamente. Para sumar números, se sumaban por separado las unidades, las decenas, las centenas... de cada número
Sistemas posicionales. La revolución tecnológica:
     La gran revolución, la condición de todo progreso tecnológico, vendrá con los sistemas posicionales. Los signos tienen un valor en sí mismos y según la posición que

ocupan. Era este juego con la posición de los signos y el descubrimiento del 0 (cero) lo que les faltaba a los sistemas cifrados.
Mesopotámicos
     Aunque se han encontrado "huesos numéricos" prehistóricos de hace 30000 años, los primeros documentos matemáticos conocidos datan del 3000 a.C. y provienen de la Mespotamia, región del Medio Oriente donde también se inventó la escritura. Los escribas mesopotámicos registraban las operaciones utilizando el principio de la numeración de posición. Según este principio, que es el nuestro, los números tienen un valor diferente según el lugar que ocupan respecto de los demás. En función de su posición, sabemos reconocer las cifras de las unidades, las decenas, las centenas, los millares, etc. Mientras nosotros utilizamos, para contar, el sistema de base 10 (es decir, hay que multiplicar por 10 para pasar del orden de las unidades al orden de las decenas, luego al de las centenas, etc.), los mesopotámicos usaban una combinación de un sistema sexagesimal y uno decimal: dos signos diferentes representan la unidad y el número 10. Las combinaciones de estos dos signos aparecen después de 60, siguiendo el principio de posición.
Babilonios
      Para simbolizar los números utilizaban símbolos que representaban al 1 y al 10. Los números menores que 59 estaban formados por estos símbolos utilizando un proceso aditivo, como en las matemáticas egipcias. El número 60, sin embargo, se representaba con el

mismo símbolo que el 1, y a partir de ahí, el valor de un símbolo venía dado por su posición en el número completo. Por ejemplo, para representar un número como 11416 se procedía así: un símbolo de 10 más seis símbolos de 1 equivalen a 16. Colocando un símbolo más a la izquierda multiplica su valor por 60. Luego, el símbolo 10 a la izquierda de 16 equivale a 600; esto es 60x10. Después, el símbolo que se encontraba mas a la izquierda aun (lo que en el ejemplo es la primera columna) se multiplicaba por 602, y así sucesivamente.
     Con el tiempo, los babilonios desarrollaron unas matemáticas más sofisticadas que les permitieron encontrar las raíces positivas de cualquier ecuación de segundo grado. Fueron incluso capaces de encontrar las raíces de algunas ecuaciones de tercer grado, y resolvieron problemas más complicados utilizando el teorema de Pitágoras. Los babilonios compilaron una gran cantidad de tablas, incluyendo tablas de multiplicar y de dividir, tablas de cuadrados y tablas de interés compuesto. Además, calcularon no sólo la suma de progresiones aritméticas y de algunas geométricas, sino también de sucesiones de cuadrados. También obtuvieron una buena aproximación de ?.
Las primeras operaciones:
     Los hombres de entonces sólo tenían necesidad de contar; pero, pronto se vieron en la necesidad de efectuar otras operaciones, porque a medida que realizaban otros trabajos y modificaban su modo de vivir, nuevos problemas y nuevas

preguntas se presentaban en su mente. Primero se trató de decir cuántas eran las ovejas de una manada formada por la unión de dos manadas; para ello era menester hacer una adición. Luego hubo que decir cuántas ovejas quedaban en una manada después de haber cedido o matado un cierto número, y para ello había que hacer una sustracción. Y así sucesivamente.
     Los egipcios utilizaban numerosas técnicas de cálculo, como la multiplicación por dos. Para calcular 21x14, empleaban la tabla del 2 y descomponían la operación así: 21x14 = (21x8) + (21x4) + (21x2) = 168 + 84 + 42 = 294. Para dividir recurrían al proceso inverso.
     ¿Cómo se las arreglaban los antiguos babilonios para hacer las cuentas?
     Por el hecho de ser tan comerciantes, continuamente obligados a manejar números, se vieron en la necesidad de idear un ábaco o instrumento de cálculo rápido. El ábaco babilónico (y ahora viene la explicación que prometí antes) consistía en tres o más surcos o canaletas (podían hacerse en el suelo, en la tierra) en las que colocaban piedritas redondas alineadas. Las piedritas de la primera canaleta de la derecha tenían valor de unidad, las de la segunda eran decenas, y las de la tercera, centenas. Exactamente como las cifras de nuestros números.
     Así era como hacían una suma: supongamos que tenemos que calcular 429 + 253. Lo primero que hacían era representar al primer sumando: 9 piedritas en el surco de las unidades, 2 en el de

las decenas y 4 en el de las centenas. Con el mismo criterio agregaban luego el segundo sumando: 3 piedritas en el surco de las unidades, 5 en el de las decenas y 2 en el de las centenas.
La adición estaría ya terminada; pero en la canaleta de las unidades hay más de 10 piedritas, entonces quitaban 10 de ellas y agregaban una en el surco de las decenas. Ahora se puede leer el resultado: 6 centenas, 8 decenas y 2 unidades.
     Las "cuatro operaciones", que hoy aprendemos fácilmente desde niños en las escuelas primarias, debieron ser inventadas una por una, y esto costó un trabajo considerable. Muchos siglos pasaron sin duda, desde la primera invención de los números, antes de que los hombres lograran calcular las sumas, las diferencias, los productos y los cocientes. Las operaciones aritméticas representaron un gran paso adelante para la civilización humana.
Pero luego las cuatro operaciones no bastaron?
     Con el transcurso de los siglos la civilización progresó, surgió la técnica, aparecieron otras ciencias como la geometría, la física, la mecánica y la astronomía. Todas ellas se expresaban naturalmente en lenguaje matemático.
La matemática se extendió, pues, a otros campos de investigación, y poco a poco debió responder a otras preguntas siempre más complicadas: ¿Cuál es la superficie de este campo? ¿De cuántos días está constituido el año? ¿A qué distancia de nosotros están el Sol, la Luna y las estrellas? ¿Cuál es la velocidad

de una piedra que cae desde lo alto de una roca? Y mas adelante?¿Cuánto tiempo emplea la luz de una estrella para llegar a la Tierra? ¿Cuánta energía se libera de los átomos cuando explota una bomba atómica? ¿Cómo se calcula el recorrido que debe efectuar un satélite artificial para colocarse en órbita? ¿Cuál es la flexión de una viga cargada con un determinado peso? ¿Qué dimensiones debe tener la sección de un pilar para soportar una carga dada?, etc, etc.
Muy interesante es enterarnos como fueron los principios de la geometría, mediante que técnicas se calculaban áreas y perímetros:
     Observemos la actividad de los hombres primitivos. Con palos y cuerdas tratan de delimitar un campo... Mientras uno hinca en tierra un palo que señala un punto, otro, a la  distancia, clava un palo similar. Tienden luego una cuerda que los une, y nace así la recta o, mejor aún, el segmento de recta. Otro hombre deposita en el suelo, una y ostra vez, una larga caña, mientras un ayudante marca en la tierra el lugar a donde ha llegado el extremo. Así nace además de la noción de segmento, la de su medida. La superficie terrestre es, para esos hombres, lo que nosotros llamamos un plano, y sobre él construyen y limitan las figuras.
     El origen de la geometría fue en Grecia, alrededor del año 1000 antes de Cristo, donde nació la geometría tal como la conocemos en nuestros días. Hacia el año 400 antes de Cristo, Platón fundó en Atenas una de esas

escuelas, el Liceo, sobre cuya puerta escribió estas palabras: "Que nadie entre aquí si no es geómetra". Los griegos, que tuvieron verdadera pasión por la geometría, le dieron su forma actual, especialmente por obra de los cuatro grandes: Tales, Pitágoras, Euclides y Arquímedes. No puede extrañarnos que la palabra polígono derive del griego polys (mucho) y gonias (ángulos), es decir figura con muchos ángulos.
     Los egipcios y los babilonios habían hallado la razón existente entre la circunferencia y su diámetro, y habían establecido que es igual a 3,14. Los griegos buscaron una aproximación mayor de esa cifra, y llegaron a expresarla como 3,141. El agregado de esa fracción tuvo notable importancia en matemáticas, y ese valor fue llamado a principios del siglo XVIII, "pi griego", y se lo indicó con esa letra del alfabeto: ?, inicial de la palabra griega periphereias que significa circunferencia.
     El gran aporte de los matemáticos griegos se sitúa a nivel del razonamiento. Fueron los primeros en introducir la demostración, sucesión de afirmaciones tales que el paso de una a la siguiente no deje lugar a ninguna duda, y gracias a esto se puede deducir la solución exacta de cualquier problema. Pero todo esto sucedió mucho después de los primeros descubrimientos matemáticos que realizaron.
Pero los griegos no fueron los únicos que se ocuparon de la geometría?
Ángulos y figuras geométricas
     Tanto entre los sumerios como entre los

egipcios, los campos primitivos tenían forma rectangular. También los edificios tenían plantas rectangulares, y ello obligó a los arquitectos a construir ángulos rectos. Un alumno de cualquiera de nosotros, no tiene mayor dificultad en hacerlo, pero el bagaje intelectual de aquellos hombres era mucho más reducido que el nuestro. ¿Cómo resolvían su problema? Clavaban en tierra dos palos y señalaban el segmento de recta que ellos determinaban. Luego ataban a uno de ellos a una cuerda, y, manteniéndola extendida, marcaban un arco. Ataban después al otro palo, una segunda cuerda de longitud suficiente y trazaban un nuevo arco que cortaba al anterior en dos puntos. Bastaba unir esos puntos mediante una cuerda para obtener cuatro ángulos rectos.
El triángulo rectángulo y la escuadra:
     El problema más corriente para un constructor, es el de trazar una perpendicular a una recta por un punto dado. Es decir que el vértice del ángulo recto que debe construirse esté determinado de antemano. La construcción anterior no resuelve tal problema, pero los antiguos geómetras lo solucionaban mediante tres cuerdas: una de ellas tenía una longitud de tres unidades cualesquiera (por ejemplo un palo o una caña). Otra de las cuerdas equivalía a cuatro de tales unidades; y la tercera a cinco. Colocando las tres cuerdas de modo que cada una de ellas sea uno de los lados de un triángulo, se obtendrá siempre un triángulo rectángulo. Lo mismo sucede si las

longitudes de los lados son 5, 12, 13 unidades. Tales triángulos fueron empleados como verdaderas escuadras en las construcciones de la antigüedad. Y siguen siendo empleados por los albañiles.
¿Como nació la fórmula de la superficie de un rectángulo?
     En la antigüedad, la tarea de recaudar los impuestos era confiada a los sacerdotes. Cuando mayor era la extensión del campo que labraban, más debían entregar. Para ello debía calcularse el área del campo, o sea la medida de su superficie. Al principio, los sacerdotes habrán hecho tal apreciación a simple vista, o, como solemos decir actualmente a ojo. Pero un día, un sacerdote que observaba a unos obreros que colocaban mosaicos cuadrados, para pavimentar un patio rectangular, notó que, para conocer el número de mosaicos empleados, no era necesario contarlos todos, sino que bastaba con contar los de una hilera y repetir ese número tantas veces como hileras había. Así nació la fórmula del área del rectángulo (multiplicando la base por la altura).
El área del triángulo
     Para seguir la evolución del conocimiento geométrico, tomemos un cuadrado o un rectángulo y dividámoslo en cuadraditos iguales. Supongamos que el cuadrado tiene nueve cuadraditos y el rectángulo doce. Diremos entonces que el área del cuadrado el nueve, y la del rectángulo es doce. Cortemos el cuadrado en dos partes iguales, siguiendo una diagonal, obtendremos dos triángulos iguales, cuya área, como podemos comprobar,

es la mitad del área del cuadrado. Este es el camino por el cual los antiguos recaudadores hallaron el área del triángulo.
     Cuando debía determinarse el área de un campo cuya forma no era cuadrada ni rectangular, se procedía a la triangulación, es decir, se lo descomponía en triángulos, y se calculaba el área de cada uno. La suma de todas esas áreas era el área del campo (método que aun suelen emplear los agrimensores).
Longitud de la circunferencia:
     Los egipcios trazaban sus circunferencias valiéndose de una cuerda que hacían girar en torno a un punto fijo. La experiencia les había enseñado que cuanto mayor era la cuerda, mayor era la circunferencia que se obtenía, y mayor también el área de circulo que ella limitaba. Un día, desprendieron la cuerda de la estaca en torno de la cual giraba, y la llevaron sobre la circunferencia, para saber cuantas veces cabía en ella. Pudieron comprobar que cabía un poco más de seis veces y un cuarto. Sea cual fuere la longitud de la cuerda el resultado era el mismo. Por lo tanto llegaron a la conclusión de que la longitud de una circunferencia es siempre 6,28 veces mayor que el radio, y por consiguiente basta multiplicar la medida de la cuerda que lo representa por 6,28 para saber cual la longitud de la misma.
El área del círculo:
     En primer lugar pensaron que podían hallar el área de un cuadrado y ver cuantas veces tal área cabía en el área del círculo. ¿Qué cuadrado elegiría? ¿Uno

cualquiera? Parecía razonable tomar el que tuviese como lado el radio de la circunferencia. Así lo hicieron, y comprobaron que el cuadrado estaba contenido en el círculo mas de tres veces y menos de cuatro, más o menos tres veces y un séptimo (actualmente decimos 3,14? veces). Saco entonces en conclusión que, para calcular el área de un círculo, basta con calcular el área de un cuadrado construido sobre el radio y multiplicar esa área por 3,14.
     Innumerables son las preguntas a las cuales la matemática debió y debe responder, y desde hace mucho tiempo las "cuatro operaciones" no son suficientes para hallar las respuestas; han debido inventarse otras cada vez más complicadas. Muchos estudiosos y pensadores, en todos los tiempos, se han dedicado a este trabajo de invención: desde Pitágoras, Euclides y Arquímedes, que han vivido varios siglos antes de la era cristiana, hasta Descartes, Leibniz, Gauss y muchos otros más cercanos a nosotros. Hoy, la matemática, con todas sus operaciones variadas y complicadas, es una ciencia que tiene infinidad de aplicaciones en todos los campos de la actividad humana, incluso y de manera primordial en la Tecnología.
Todos gozamos del privilegio de la razón, y todos somos capaces de dar muestras de la maravilla de la inteligencia humana.