viernes, 5 de octubre de 2012
sábado, 29 de septiembre de 2012
ARICULO 5.
JUEGO, MATEMATICAS…¿ESTAS AHÍ?
El autor comienza dándonos una breve introducción de un cuento llamado
La Mano de la Princesa, donde menciona como es disputada la mano de está
princesa, por una serie de pretendientes, donde empleaban diferentes
recursos para seducirla, unos más sencillos y otros más variados e
imaginativos, pero notaban que no lograban conmoverla, al llegar al
último de los pretendientes quien extrae de su capa un par de anteojos,
la princesa se los prueba, sonríe y le brinda su mano, el autor nos
cuenta antes el final ya que nos damos cuenta que la princesa era miope,
pero los pretendientes no lo sabían, este hecho nos sorprendería, es
increíble como a veces podemos admirar igualmente la belleza de las
imágenes. El autor explica como el último de los pretendientes, ya
enterado del fracaso de los otros, cambia el enfoque del asunto. Es aquí
donde nos demuestra que debemos de mirar al problema de otra manera.
Nos damos cuenta que el hablar de matemáticas no es solamente demostrar el teorema de Pitágoras, el dice que también en la matemática hay belleza. Como dijo el poeta Fernando Pessoa: "El binomio de Newton es tan hermoso como la Venus de Milo, lo que pasa es que muy poca gente se da cuenta, es por eso que a veces deberíamos de mirar las cosas de esa otra manera, y empezar contando un cuento.
Este libro explica los números grandes a base de
Nos damos cuenta que el hablar de matemáticas no es solamente demostrar el teorema de Pitágoras, el dice que también en la matemática hay belleza. Como dijo el poeta Fernando Pessoa: "El binomio de Newton es tan hermoso como la Venus de Milo, lo que pasa es que muy poca gente se da cuenta, es por eso que a veces deberíamos de mirar las cosas de esa otra manera, y empezar contando un cuento.
Este libro explica los números grandes a base de
ejemplos que tienen que
ver con la vida diaria que llevamos. Uno de ellos habla acerca de la
deuda externas en donde se manejan los números en miles de millones de
dólares, menciona a las estrellas y el cielo que están años luz de la
Tierra, que la molécula del núcleo del ADN contiene 3 millones de
nucleótidos y la superficie del sol entre otros.
Números en este capítulo Adrian Paenza nos va dando una serie de ejemplos para poder explicar los temas sin tener que hacerlos tan complicados en todos ellos aplica el razonamiento lógico ya que tienen que ver con lo que hacemos diariamente o con lo que vivimos, como al tratar de explicar los números interesantes: en esta parte habla acerca de los números naturales que son números "interesantes". Nos va diciendo como es que cada número es importante, ya sea porque es el primero de los números, es un número par, porque es el primer número impar o porque es una potencia, finalmente un numero es interesante, cuando tiene algún atractivo, algo que lo distinga, algo que merezca destacarlo de los otros, que tenga algún borde o alguna particularidad.
"Dado un número entero positivo cualquiera, siempre... siempre... hay algo que lo transforma en “interesante” o "atractivo” o “distinguible".
Personajes: Adrian cuenta una breve historia que escribió un amigo íntimo que falleció Ricardo Noriega. Nos explica que
Números en este capítulo Adrian Paenza nos va dando una serie de ejemplos para poder explicar los temas sin tener que hacerlos tan complicados en todos ellos aplica el razonamiento lógico ya que tienen que ver con lo que hacemos diariamente o con lo que vivimos, como al tratar de explicar los números interesantes: en esta parte habla acerca de los números naturales que son números "interesantes". Nos va diciendo como es que cada número es importante, ya sea porque es el primero de los números, es un número par, porque es el primer número impar o porque es una potencia, finalmente un numero es interesante, cuando tiene algún atractivo, algo que lo distinga, algo que merezca destacarlo de los otros, que tenga algún borde o alguna particularidad.
"Dado un número entero positivo cualquiera, siempre... siempre... hay algo que lo transforma en “interesante” o "atractivo” o “distinguible".
Personajes: Adrian cuenta una breve historia que escribió un amigo íntimo que falleció Ricardo Noriega. Nos explica que
muchas veces, cuando uno
está leyendo algo de matemáticas tropieza con un problema: no entiende
lo que leyó, entonces, para, piensa y relee el texto, y la mayoría de
las veces, sigue sin entender, uno no avanza y quiere comprender, pero
no puede, lee el párrafo nuevamente, piensa y uno entiende, pero no es
todo: lo maravilloso es que uno no puede entender por qué no entendía
antes. Esta reflexión que merece en algún momento una respuesta. ¿Qué
nos detiene? ¿Por qué no entendemos en un momento y después sí? ¿Por
qué? ¿Qué pasa en nuestro cerebro? ¿Qué conexiones se producen? ¿Qué es
lo que juega para que durante un buen rato no entendamos algo y, de
pronto, se produzca un "click" y pasemos a entender? ¿No es maravilloso
ponerse a pensar por qué uno no entendía antes? ¿Se podrá reproducir
esto? ¿Se podrá utilizar para cooperar con la comprensión de otra
persona? ¿Servirá la experiencia de uno para mejorar la velocidad y
profundidad de aprendizaje de otro?
También menciona la conversación entre Einstein y Poincare, menciona en este capitulo que los matemáticos hacen razonamientos no números, y aquí citamos algunos de los personajes que menciona Adrian Paenza: Einstein y Poincare, Fleming y Churchill, Pitagoras, Carl Friedrich Gauss, Goldbach, Srinnivasa Ramanujan, Oscar Bruno y Alan Turing.
Pasando al tema de las probabilidades y estimaciones, como bien
También menciona la conversación entre Einstein y Poincare, menciona en este capitulo que los matemáticos hacen razonamientos no números, y aquí citamos algunos de los personajes que menciona Adrian Paenza: Einstein y Poincare, Fleming y Churchill, Pitagoras, Carl Friedrich Gauss, Goldbach, Srinnivasa Ramanujan, Oscar Bruno y Alan Turing.
Pasando al tema de las probabilidades y estimaciones, como bien
sabemos La teoría de la
probabilidad es la parte de las matemáticas que estudia los fenómenos
aleatorios, aquí encontramos ejemplos muy claros de probabilidades desde
el típico ejemplo de la moneda cara o cruz asta, como estimar el numero
de peces que hay en el agua. El problema del palomar o pigeon hole.
Los matemáticos buscan patrones, es decir, buscar situaciones que se "repiten", se asemejan. Algo así como buscar peculiaridades, o cosas que varios objetos tengan en común. Así, tratamos de sacar algunas conclusiones o teoremas que permitan deducir que ante ciertos antecedentes (si se verifican ciertas hipótesis), se producen ciertos consecuentes (se deduce tal tesis).
Pensamiento lateral (del inglés lateral thinking) es un método de pensamiento que puede ser empleado como una técnica para la resolución de problemas de manera creativa. Thinking y publicado en 1967, que se refiere a la técnica que permite la resolución de problemas de una manera indirecta y con un enfoque creativo. El pensamiento lateral es una forma específica de organizar los procesos de pensamiento, que busca una solución mediante estrategias o algoritmos no ortodoxos, que normalmente serían ignorados por el pensamiento lógico.
Se dice que al evaluar un problema existiría la tendencia a seguir un patrón natural o habitual de pensamiento (las sillas son para sentarse, el suelo
Los matemáticos buscan patrones, es decir, buscar situaciones que se "repiten", se asemejan. Algo así como buscar peculiaridades, o cosas que varios objetos tengan en común. Así, tratamos de sacar algunas conclusiones o teoremas que permitan deducir que ante ciertos antecedentes (si se verifican ciertas hipótesis), se producen ciertos consecuentes (se deduce tal tesis).
Pensamiento lateral (del inglés lateral thinking) es un método de pensamiento que puede ser empleado como una técnica para la resolución de problemas de manera creativa. Thinking y publicado en 1967, que se refiere a la técnica que permite la resolución de problemas de una manera indirecta y con un enfoque creativo. El pensamiento lateral es una forma específica de organizar los procesos de pensamiento, que busca una solución mediante estrategias o algoritmos no ortodoxos, que normalmente serían ignorados por el pensamiento lógico.
Se dice que al evaluar un problema existiría la tendencia a seguir un patrón natural o habitual de pensamiento (las sillas son para sentarse, el suelo
para caminar, un vaso para
ser llenado con un líquido, etc.), lo cual limitaría las soluciones
posibles. Con el pensamiento lateral sería posible romper con este
patrón rígido, lo que permitiría obtener ideas mucho más creativas e
innovadoras para representar todos esos caminos alternativos o
desacostumbrados, que permiten la resolución de los problemas de forma
indirecta y con un enfoque creativo. En particular, la técnica se basa
en que, mediante provocaciones del pensamiento, se haría posible un
desvío del camino o patrón habitual del pensamiento.
En la lógica cotidiana se dice que es común que uno cometa errores de interpretación en la vida cotidiana. Nos cita algunos ejemplos como: Supongamos que un señor se encuentra en un ascensor con dos señoritas y dice, mirando a una de ellas:
Si uno analiza, deduce que la otra mujer no es tan bonita. Y hace eso porque la afirmación "usted es muy bonita", cuando hay otra mujer en la habitación, induce (equivocadamente) a pensar que la otra no lo es.
Sobre el final del siglo XIX, la matemática se había convertido en el estudio del número, de la forma, del movimiento, del cambio, del espacio y también de las herramientas matemáticas que se utilizaban para ese estudio.
Finalmente nos damos cuenta que el autor explica las matemáticas en base a sus experiencias personales y como se menciona al principio contando
En la lógica cotidiana se dice que es común que uno cometa errores de interpretación en la vida cotidiana. Nos cita algunos ejemplos como: Supongamos que un señor se encuentra en un ascensor con dos señoritas y dice, mirando a una de ellas:
Si uno analiza, deduce que la otra mujer no es tan bonita. Y hace eso porque la afirmación "usted es muy bonita", cuando hay otra mujer en la habitación, induce (equivocadamente) a pensar que la otra no lo es.
Sobre el final del siglo XIX, la matemática se había convertido en el estudio del número, de la forma, del movimiento, del cambio, del espacio y también de las herramientas matemáticas que se utilizaban para ese estudio.
Finalmente nos damos cuenta que el autor explica las matemáticas en base a sus experiencias personales y como se menciona al principio contando
historias y citando en cada una ejemplos de las mismas.
Cómo construir un ángulo recto? Aquí no explica cómo es posible construir un ángulo recto esta altura, el teorema de Pitágoras: En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, el teorema habla sobre la relación que hay entre la hipotenusa y los catetos en un triángulo rectángulo, entonces, que el triángulo que nos dieron es rectángulo. Nos da un claro ejemplo de que pasaría si un señor llega con un triángulo y dice: yo acabo de medir la hipotenusa y los catetos de este triángulo y resulta que cuando sumo los cuadrados de los catetos me da el mismo número que el cuadrado de la hipotenusa. La pregunta sería: ¿Es rectángulo el triángulo del señor? el teorema hace afirmaciones cuando uno sabe que tiene un triángulo rectángulo. Pero en este caso, no dice nada. No se puede aplicar el teorema.
Y llegamos a un punto importante la solución de los problemas que nos menciona como el del Hotel Hlbert, en donde se demuestra que los conjuntos infinitos tienen propiedades muy peculiares, pero, entre otras, la que atenta contra la intuición es que un subconjunto "más pequeño”, “contenido" dentro de un conjunto, puede contener el mismo número de elementos que el todo.
Enseñar a disfrutar de pensar, de tener un problema, de regodearse aun cuando
uno no puede encontrar la
solución pero lo tiene como un desafío. Hablo de la magia de poder
pensar, seducir mostrando lo que se ignora, desafiar a la mente.
Cómo construir un ángulo recto? Aquí no explica cómo es posible construir un ángulo recto esta altura, el teorema de Pitágoras: En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, el teorema habla sobre la relación que hay entre la hipotenusa y los catetos en un triángulo rectángulo, entonces, que el triángulo que nos dieron es rectángulo. Nos da un claro ejemplo de que pasaría si un señor llega con un triángulo y dice: yo acabo de medir la hipotenusa y los catetos de este triángulo y resulta que cuando sumo los cuadrados de los catetos me da el mismo número que el cuadrado de la hipotenusa. La pregunta sería: ¿Es rectángulo el triángulo del señor? el teorema hace afirmaciones cuando uno sabe que tiene un triángulo rectángulo. Pero en este caso, no dice nada. No se puede aplicar el teorema.
Y llegamos a un punto importante la solución de los problemas que nos menciona como el del Hotel Hlbert, en donde se demuestra que los conjuntos infinitos tienen propiedades muy peculiares, pero, entre otras, la que atenta contra la intuición es que un subconjunto "más pequeño”, “contenido" dentro de un conjunto, puede contener el mismo número de elementos que el todo.
Enseñar a disfrutar de pensar, de tener un problema, de regodearse aun cuando
ARICULO 4.
Introducción al juego.
El juego debe estar incluido en los proyectos educativos no sólo porque los niños sientan la necesidad de jugar, sino como medio de diagnóstico y conocimiento profundo de las conductas de los alumnos. El juego facilita el desarrollo de los diferentes aspectos de la conducta del niño: de carácter, de habilidades sociales, de dominios motores y el desarrollo de las capacidades físicas; al tiempo que entrañan experiencias diversificadas e incluyen incertidumbre, facilitando la adaptación y como consecuencia, la autonomía en todos
los ámbitos de la conducta del niño.
El docente deberá tener en cuenta que el juego supone una acción motriz por lo que tal y como señala Florence deben cumplirse una serie de premisas que recogen las principales líneas metodológicas constructivistas en las que se basa el actual sistema educativo, como son la:
• Participación
• Variedad
• Progresión
• Indagación
• Significatividad
• Progresión
• Actividad
• Apertura
• Globalidad
En definitiva, para que un juego se convierta en un medio educativo, es necesario que se den y que se crean, una serie de condiciones:
• Deben potenciar la creatividad; esta es una de las características que ofrecen al juego más relevancia a la hora de su uso en la enseñanza.
• Deben permitir en primera instancia el desarrollo global del niño, pudiéndose posteriormente potenciar aspectos más específicos.
• Deben eliminar el exceso de competitividad, buscándose más lo cooperativo que lo competitivo. Así se evitarán que destaquen siempre los mismos jugadores; dándose más importancia al proceso que al resultado.
• Se evitarán situaciones de jugadores espectadores, por lo que se eliminarán juegos de eliminación por
otros en los que todos
participen siempre teniendo algún rol dentro del juego. Constituyéndose
como una vía de aprendizaje cooperativo evitando situaciones de
marginación.El docente deberá tener en cuenta que el juego supone una acción motriz por lo que tal y como señala Florence deben cumplirse una serie de premisas que recogen las principales líneas metodológicas constructivistas en las que se basa el actual sistema educativo, como son la:
• Participación
• Variedad
• Progresión
• Indagación
• Significatividad
• Progresión
• Actividad
• Apertura
• Globalidad
En definitiva, para que un juego se convierta en un medio educativo, es necesario que se den y que se crean, una serie de condiciones:
• Deben potenciar la creatividad; esta es una de las características que ofrecen al juego más relevancia a la hora de su uso en la enseñanza.
• Deben permitir en primera instancia el desarrollo global del niño, pudiéndose posteriormente potenciar aspectos más específicos.
• Deben eliminar el exceso de competitividad, buscándose más lo cooperativo que lo competitivo. Así se evitarán que destaquen siempre los mismos jugadores; dándose más importancia al proceso que al resultado.
• Se evitarán situaciones de jugadores espectadores, por lo que se eliminarán juegos de eliminación por
• Debe ser gratificante, y por lo tanto motivantes y de interés para el alumno.
• Debe suponer un reto para el alumno (estímulo), pero que este sea alcanzable.
• Se debe buscar un correcto equilibrio entre la actividad ludomotriz y el descanso.
• Debido a su carácter global , el juego debe ayudar y ayuda en el desarrollo de todos los ámbitos del niño:
Cognitivo:
• Conoce, domina y comprende el entorno
• Se descubre a sí mismo
• Obtiene nuevas experiencias que le ofrecen solucionar problemas
Motriz:
• Factor de estimulación
• Desarrollo percepción y confianza en el uso del cuerpo
Afectivo
• Contribuye al equilibrio y dominio de si mismo
• Refugio ante dificultades
• Entretenimiento, placer
• Le permite expresarse, liberar tensiones
Social
• Facilita el proceso de socialización
• Aprende normas de comportamiento
• Medio para explorar su rol en los grupos
ARICULO 3.
MATEMATICAS Y TECNOLOGÍA
Esa es la idea en este trabajo, la de retroceder miles de años en nuestra historia, y ver que papel jugaban nuestras queridas matemáticas, y en qué ayudaba a los seres humanos esta ciencia en esa época.
.
La relación entre las matemáticas y la tecnología:
La primera relación que es preciso destacar, es que sin matemáticas no hay tecnología, y sin tecnología no hay aplicación concreta de las matemáticas, por lo cual debemos pensar que van de la mano, que se complementan y que esto sucedió siempre, aún en nuestros orígenes.
La técnica comprende todas las actividades humanas que requieren especialización para la fabricación
de productos varios (por
ejemplo, los motores, las máquinas y sus partes, y todo otro tipo de
aparatos). El fundamento de la técnica es la matemática, porque todo lo
que se construye es proyectado, experimentado, aprobado y perfeccionado
con el auxilio insustituible de los cálculos. Hasta un simple hilo
metálico, destinado a la conducción de la electricidad, debe tener un
espesor en relación con su largo calculado con exactitud para permitir
el paso de una determinada cantidad de corriente.
Pocos pueden imaginar cuantos cálculos se necesitan, por ejemplo, para construir un nuevo tipo de automóvil: el motor debe efectuar un cierto número de revoluciones para alcanzar una determinada velocidad, consumiendo una determinada cantidad de combustible; las ruedas deben tener un cierto diámetro, y la presión del aire en sus neumáticos debe alcanzar un determinado valor. Es necesario prever el grado máximo de temperatura que puede ser tolerado por los materiales, la resistencia del aire que se opondrá a la forma de la carrocería, el tiempo de desgaste de los distintos órganos del motor, etc. En pocas palabras, se necesitan centenares de miles de cálculos para crear un nuevo tipo de máquina de las que usamos hoy en día.
La naturaleza le dio al hombre las manos y él hizo las matemáticas?
Las características anatómicas que diferencian al hombre de los animales y concretamente de sus parientes más allegados, los simios, son: los
Pocos pueden imaginar cuantos cálculos se necesitan, por ejemplo, para construir un nuevo tipo de automóvil: el motor debe efectuar un cierto número de revoluciones para alcanzar una determinada velocidad, consumiendo una determinada cantidad de combustible; las ruedas deben tener un cierto diámetro, y la presión del aire en sus neumáticos debe alcanzar un determinado valor. Es necesario prever el grado máximo de temperatura que puede ser tolerado por los materiales, la resistencia del aire que se opondrá a la forma de la carrocería, el tiempo de desgaste de los distintos órganos del motor, etc. En pocas palabras, se necesitan centenares de miles de cálculos para crear un nuevo tipo de máquina de las que usamos hoy en día.
La naturaleza le dio al hombre las manos y él hizo las matemáticas?
Las características anatómicas que diferencian al hombre de los animales y concretamente de sus parientes más allegados, los simios, son: los
miembros inferiores, los miembros superiores y la cabeza.
Algunos antropólogos afirman que primero evolucionaron los miembros superiores, después los inferiores y finalmente la cabeza pudo alcanzar su forma (y capacidad) actuales.
Apenas apareció sobre la Tierra, el hombre debió proveerse para subsistir y buscar todo lo que necesitaba con la sola ayuda de sus manos; es decir, tuvo que servirse de éstas guiado por su inteligencia y por su ingenio. Luego, la cualidad superior de su mente lo indujo a descubrir "auxiliares" en los objetos que fue encontrando en la naturaleza. Sin duda, se detuvo a observar una piedra, viendo en ella un elemento útil. Esa piedra sería entonces una valiosa herramienta de la cual podría servirse para diversos menesteres; y desde entonces ha seguido descubriendo nuevos elementos de trabajo.
Las herramientas imitan las posiciones que adopta la mano del hombre, pues ellas fueron el primer modelo; muchos utensilios fueron construidos a imitación de ellas, y sirven para las operaciones en que la mano es insuficiente.
Nadie duda que el hombre sea el único entre los seres vivientes que ha sido capaz de inventar instrumentos y de adecuarlos para sus propios fines.
Los números:
Probablemente no a todos se nos haya ocurrido preguntar cómo se habrán originado los números, que hoy utilizamos tan corrientemente casi sin reparar en ellos. De todos modos esa pregunta difícilmente
Algunos antropólogos afirman que primero evolucionaron los miembros superiores, después los inferiores y finalmente la cabeza pudo alcanzar su forma (y capacidad) actuales.
Apenas apareció sobre la Tierra, el hombre debió proveerse para subsistir y buscar todo lo que necesitaba con la sola ayuda de sus manos; es decir, tuvo que servirse de éstas guiado por su inteligencia y por su ingenio. Luego, la cualidad superior de su mente lo indujo a descubrir "auxiliares" en los objetos que fue encontrando en la naturaleza. Sin duda, se detuvo a observar una piedra, viendo en ella un elemento útil. Esa piedra sería entonces una valiosa herramienta de la cual podría servirse para diversos menesteres; y desde entonces ha seguido descubriendo nuevos elementos de trabajo.
Las herramientas imitan las posiciones que adopta la mano del hombre, pues ellas fueron el primer modelo; muchos utensilios fueron construidos a imitación de ellas, y sirven para las operaciones en que la mano es insuficiente.
Nadie duda que el hombre sea el único entre los seres vivientes que ha sido capaz de inventar instrumentos y de adecuarlos para sus propios fines.
Los números:
Probablemente no a todos se nos haya ocurrido preguntar cómo se habrán originado los números, que hoy utilizamos tan corrientemente casi sin reparar en ellos. De todos modos esa pregunta difícilmente
podría contestarse, ya que
el origen de los números, como el del lenguaje, se pierde en la lejanía
de los tiempos, en la época oscura en que el hombre comenzó a notar que
se diferenciaba de los otros seres terrestres. ¿Cuántos somos? ¿Cuántos
enemigos vienen? ¿Cuántas ovejas tenemos? Hoy respondemos: tres, mil, un
millón, etc.; en aquel entonces, poco a poco, una a una, se habría ido
dando nombre a las distintas cantidades.
Los números son la respuesta a la pregunta ¿Cuántos? En las sociedades primitivas se usaban solo en relación con objetos reales de la existencia cotidiana -cuantas vacas, cuantas casas-, y con unos pocos números era suficiente. Cualquier número "largo" podía ser sumado simplemente como "muchos". Durante miles de años antes de su escritura, los números se expresaban verbalmente y se indicaban con los dedos, con piedras, etc. Los pueblos aprendieron a elaborar registros permanentes de los números de muchas formas, desde los nudos hechos por los incas y conocidos como "quipus", hasta los variados diseños de símbolos para los distintos sistemas.
Para poder retener, o diferenciar los números, sobre todo cuando las cantidades eran grandes, los hombres fueron, poco a poco, creando símbolos, siguiendo un largo proceso que duraría varios milenios: los números actuales permiten realizar cálculos más difíciles, y más rápidamente, que con las partes del cuerpo.
Los signos que utilizamos en matemática y que nos
Los números son la respuesta a la pregunta ¿Cuántos? En las sociedades primitivas se usaban solo en relación con objetos reales de la existencia cotidiana -cuantas vacas, cuantas casas-, y con unos pocos números era suficiente. Cualquier número "largo" podía ser sumado simplemente como "muchos". Durante miles de años antes de su escritura, los números se expresaban verbalmente y se indicaban con los dedos, con piedras, etc. Los pueblos aprendieron a elaborar registros permanentes de los números de muchas formas, desde los nudos hechos por los incas y conocidos como "quipus", hasta los variados diseños de símbolos para los distintos sistemas.
Para poder retener, o diferenciar los números, sobre todo cuando las cantidades eran grandes, los hombres fueron, poco a poco, creando símbolos, siguiendo un largo proceso que duraría varios milenios: los números actuales permiten realizar cálculos más difíciles, y más rápidamente, que con las partes del cuerpo.
Los signos que utilizamos en matemática y que nos
parecen tan triviales y
familiares son el fruto de largas reflexiones y discusiones entre
científicos de todas las épocas y lugares.
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Las primeras civilizaciones y su sistema de numeración:
Los mayas (de Centroamérica) utilizaban un sistema de valores basados en 10. Cada numeral estaba hecho de puntos para el 1, y de líneas para el 5, escritos en columnas. Cada paso ascendente en la columna multiplicaba el número por 20.
Los griegos fueron menos creativos en aritmética, quizá porque su sistema de numeración era muy incómodo. Formaban sus números de manera aditiva y multiplicativa a la vez. Por ejemplo, para escribir 50, ponían el signo que representaba al 10 dentro del signo 5, y para escribir 12000, juntaban los signos correspondientes a 10000 y 2000. Luego, adoptaron un sistema aditivo que utilizaba las letras del alfabeto.
Los egipcios aproximadamente en la misma época, también habían desarrollado su propia escritura matemática con jeroglíficos. Se conservan menos vestigios de sus cálculos que de los mesopotámicos, ya que, en vez de escribir sobre tablillas de arcilla, los escribas egipcios anotaban todo en papiros muy frágiles.
Su sistema de numeración no era fácil de manipular. Para diferenciar las unidades de las decenas, de los millares, etc., los egipcios utilizaban signos diferentes que repetían tantas veces como fuera necesario. Para leer una cifra, se sumaban los valores de cada símbolo
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Las primeras civilizaciones y su sistema de numeración:
Los mayas (de Centroamérica) utilizaban un sistema de valores basados en 10. Cada numeral estaba hecho de puntos para el 1, y de líneas para el 5, escritos en columnas. Cada paso ascendente en la columna multiplicaba el número por 20.
Los griegos fueron menos creativos en aritmética, quizá porque su sistema de numeración era muy incómodo. Formaban sus números de manera aditiva y multiplicativa a la vez. Por ejemplo, para escribir 50, ponían el signo que representaba al 10 dentro del signo 5, y para escribir 12000, juntaban los signos correspondientes a 10000 y 2000. Luego, adoptaron un sistema aditivo que utilizaba las letras del alfabeto.
Los egipcios aproximadamente en la misma época, también habían desarrollado su propia escritura matemática con jeroglíficos. Se conservan menos vestigios de sus cálculos que de los mesopotámicos, ya que, en vez de escribir sobre tablillas de arcilla, los escribas egipcios anotaban todo en papiros muy frágiles.
Su sistema de numeración no era fácil de manipular. Para diferenciar las unidades de las decenas, de los millares, etc., los egipcios utilizaban signos diferentes que repetían tantas veces como fuera necesario. Para leer una cifra, se sumaban los valores de cada símbolo
utilizado. Un número como
1235 se escribía con un signo de millar, dos signos de centena, tres de
decena y cinco de unidad, sin importar el orden en que se los escribía,
es decir, con once signos, mientras que la numeración de posición nos
permite usar sólo cuatro.
Estos señores también tenían símbolos para escribir las fracciones: Una boca que representa la unidad (1) se ponía arriba, y abajo se ubicaban los signos correspondientes al denominador. No conocían las fracciones cuyo numerador fuera distinto de 1, entonces, para expresar una fracción como 3/5, la descomponían en 1/2 + 1/10. En el comercio, para medir las cantidades de cereales o de líquidos, los egipcios utilizaban dichas fracciones.
Los primeros libros egipcios, escritos hacia el año 1800 a.C., muestran un sistema de numeración decimal con distintos símbolos para las sucesivas potencias de 10 (1, 10, 100...), similar al sistema utilizado por los romanos. Los números se representaban escribiendo el símbolo del 1 tantas veces como unidades tenía el número dado, el símbolo del 10 tantas veces como decenas había en el número, y así sucesivamente. Para sumar números, se sumaban por separado las unidades, las decenas, las centenas... de cada número
Sistemas posicionales. La revolución tecnológica:
La gran revolución, la condición de todo progreso tecnológico, vendrá con los sistemas posicionales. Los signos tienen un valor en sí mismos y según la posición que
Estos señores también tenían símbolos para escribir las fracciones: Una boca que representa la unidad (1) se ponía arriba, y abajo se ubicaban los signos correspondientes al denominador. No conocían las fracciones cuyo numerador fuera distinto de 1, entonces, para expresar una fracción como 3/5, la descomponían en 1/2 + 1/10. En el comercio, para medir las cantidades de cereales o de líquidos, los egipcios utilizaban dichas fracciones.
Los primeros libros egipcios, escritos hacia el año 1800 a.C., muestran un sistema de numeración decimal con distintos símbolos para las sucesivas potencias de 10 (1, 10, 100...), similar al sistema utilizado por los romanos. Los números se representaban escribiendo el símbolo del 1 tantas veces como unidades tenía el número dado, el símbolo del 10 tantas veces como decenas había en el número, y así sucesivamente. Para sumar números, se sumaban por separado las unidades, las decenas, las centenas... de cada número
Sistemas posicionales. La revolución tecnológica:
La gran revolución, la condición de todo progreso tecnológico, vendrá con los sistemas posicionales. Los signos tienen un valor en sí mismos y según la posición que
ocupan. Era este juego con
la posición de los signos y el descubrimiento del 0 (cero) lo que les
faltaba a los sistemas cifrados.
Mesopotámicos
Aunque se han encontrado "huesos numéricos" prehistóricos de hace 30000 años, los primeros documentos matemáticos conocidos datan del 3000 a.C. y provienen de la Mespotamia, región del Medio Oriente donde también se inventó la escritura. Los escribas mesopotámicos registraban las operaciones utilizando el principio de la numeración de posición. Según este principio, que es el nuestro, los números tienen un valor diferente según el lugar que ocupan respecto de los demás. En función de su posición, sabemos reconocer las cifras de las unidades, las decenas, las centenas, los millares, etc. Mientras nosotros utilizamos, para contar, el sistema de base 10 (es decir, hay que multiplicar por 10 para pasar del orden de las unidades al orden de las decenas, luego al de las centenas, etc.), los mesopotámicos usaban una combinación de un sistema sexagesimal y uno decimal: dos signos diferentes representan la unidad y el número 10. Las combinaciones de estos dos signos aparecen después de 60, siguiendo el principio de posición.
Babilonios
Para simbolizar los números utilizaban símbolos que representaban al 1 y al 10. Los números menores que 59 estaban formados por estos símbolos utilizando un proceso aditivo, como en las matemáticas egipcias. El número 60, sin embargo, se representaba con el
Mesopotámicos
Aunque se han encontrado "huesos numéricos" prehistóricos de hace 30000 años, los primeros documentos matemáticos conocidos datan del 3000 a.C. y provienen de la Mespotamia, región del Medio Oriente donde también se inventó la escritura. Los escribas mesopotámicos registraban las operaciones utilizando el principio de la numeración de posición. Según este principio, que es el nuestro, los números tienen un valor diferente según el lugar que ocupan respecto de los demás. En función de su posición, sabemos reconocer las cifras de las unidades, las decenas, las centenas, los millares, etc. Mientras nosotros utilizamos, para contar, el sistema de base 10 (es decir, hay que multiplicar por 10 para pasar del orden de las unidades al orden de las decenas, luego al de las centenas, etc.), los mesopotámicos usaban una combinación de un sistema sexagesimal y uno decimal: dos signos diferentes representan la unidad y el número 10. Las combinaciones de estos dos signos aparecen después de 60, siguiendo el principio de posición.
Babilonios
Para simbolizar los números utilizaban símbolos que representaban al 1 y al 10. Los números menores que 59 estaban formados por estos símbolos utilizando un proceso aditivo, como en las matemáticas egipcias. El número 60, sin embargo, se representaba con el
mismo símbolo que el 1, y a
partir de ahí, el valor de un símbolo venía dado por su posición en el
número completo. Por ejemplo, para representar un número como 11416 se
procedía así: un símbolo de 10 más seis símbolos de 1 equivalen a 16.
Colocando un símbolo más a la izquierda multiplica su valor por 60.
Luego, el símbolo 10 a la izquierda de 16 equivale a 600; esto es 60x10.
Después, el símbolo que se encontraba mas a la izquierda aun (lo que en
el ejemplo es la primera columna) se multiplicaba por 602, y así
sucesivamente.
Con el tiempo, los babilonios desarrollaron unas matemáticas más sofisticadas que les permitieron encontrar las raíces positivas de cualquier ecuación de segundo grado. Fueron incluso capaces de encontrar las raíces de algunas ecuaciones de tercer grado, y resolvieron problemas más complicados utilizando el teorema de Pitágoras. Los babilonios compilaron una gran cantidad de tablas, incluyendo tablas de multiplicar y de dividir, tablas de cuadrados y tablas de interés compuesto. Además, calcularon no sólo la suma de progresiones aritméticas y de algunas geométricas, sino también de sucesiones de cuadrados. También obtuvieron una buena aproximación de ?.
Las primeras operaciones:
Los hombres de entonces sólo tenían necesidad de contar; pero, pronto se vieron en la necesidad de efectuar otras operaciones, porque a medida que realizaban otros trabajos y modificaban su modo de vivir, nuevos problemas y nuevas
Con el tiempo, los babilonios desarrollaron unas matemáticas más sofisticadas que les permitieron encontrar las raíces positivas de cualquier ecuación de segundo grado. Fueron incluso capaces de encontrar las raíces de algunas ecuaciones de tercer grado, y resolvieron problemas más complicados utilizando el teorema de Pitágoras. Los babilonios compilaron una gran cantidad de tablas, incluyendo tablas de multiplicar y de dividir, tablas de cuadrados y tablas de interés compuesto. Además, calcularon no sólo la suma de progresiones aritméticas y de algunas geométricas, sino también de sucesiones de cuadrados. También obtuvieron una buena aproximación de ?.
Las primeras operaciones:
Los hombres de entonces sólo tenían necesidad de contar; pero, pronto se vieron en la necesidad de efectuar otras operaciones, porque a medida que realizaban otros trabajos y modificaban su modo de vivir, nuevos problemas y nuevas
preguntas se presentaban
en su mente. Primero se trató de decir cuántas eran las ovejas de una
manada formada por la unión de dos manadas; para ello era menester hacer
una adición. Luego hubo que decir cuántas ovejas quedaban en una manada
después de haber cedido o matado un cierto número, y para ello había
que hacer una sustracción. Y así sucesivamente.
Los egipcios utilizaban numerosas técnicas de cálculo, como la multiplicación por dos. Para calcular 21x14, empleaban la tabla del 2 y descomponían la operación así: 21x14 = (21x8) + (21x4) + (21x2) = 168 + 84 + 42 = 294. Para dividir recurrían al proceso inverso.
¿Cómo se las arreglaban los antiguos babilonios para hacer las cuentas?
Por el hecho de ser tan comerciantes, continuamente obligados a manejar números, se vieron en la necesidad de idear un ábaco o instrumento de cálculo rápido. El ábaco babilónico (y ahora viene la explicación que prometí antes) consistía en tres o más surcos o canaletas (podían hacerse en el suelo, en la tierra) en las que colocaban piedritas redondas alineadas. Las piedritas de la primera canaleta de la derecha tenían valor de unidad, las de la segunda eran decenas, y las de la tercera, centenas. Exactamente como las cifras de nuestros números.
Así era como hacían una suma: supongamos que tenemos que calcular 429 + 253. Lo primero que hacían era representar al primer sumando: 9 piedritas en el surco de las unidades, 2 en el de
Los egipcios utilizaban numerosas técnicas de cálculo, como la multiplicación por dos. Para calcular 21x14, empleaban la tabla del 2 y descomponían la operación así: 21x14 = (21x8) + (21x4) + (21x2) = 168 + 84 + 42 = 294. Para dividir recurrían al proceso inverso.
¿Cómo se las arreglaban los antiguos babilonios para hacer las cuentas?
Por el hecho de ser tan comerciantes, continuamente obligados a manejar números, se vieron en la necesidad de idear un ábaco o instrumento de cálculo rápido. El ábaco babilónico (y ahora viene la explicación que prometí antes) consistía en tres o más surcos o canaletas (podían hacerse en el suelo, en la tierra) en las que colocaban piedritas redondas alineadas. Las piedritas de la primera canaleta de la derecha tenían valor de unidad, las de la segunda eran decenas, y las de la tercera, centenas. Exactamente como las cifras de nuestros números.
Así era como hacían una suma: supongamos que tenemos que calcular 429 + 253. Lo primero que hacían era representar al primer sumando: 9 piedritas en el surco de las unidades, 2 en el de
las decenas y 4 en el de
las centenas. Con el mismo criterio agregaban luego el segundo sumando: 3
piedritas en el surco de las unidades, 5 en el de las decenas y 2 en el
de las centenas.
La adición estaría ya terminada; pero en la canaleta de las unidades hay más de 10 piedritas, entonces quitaban 10 de ellas y agregaban una en el surco de las decenas. Ahora se puede leer el resultado: 6 centenas, 8 decenas y 2 unidades.
Las "cuatro operaciones", que hoy aprendemos fácilmente desde niños en las escuelas primarias, debieron ser inventadas una por una, y esto costó un trabajo considerable. Muchos siglos pasaron sin duda, desde la primera invención de los números, antes de que los hombres lograran calcular las sumas, las diferencias, los productos y los cocientes. Las operaciones aritméticas representaron un gran paso adelante para la civilización humana.
Pero luego las cuatro operaciones no bastaron?
Con el transcurso de los siglos la civilización progresó, surgió la técnica, aparecieron otras ciencias como la geometría, la física, la mecánica y la astronomía. Todas ellas se expresaban naturalmente en lenguaje matemático.
La matemática se extendió, pues, a otros campos de investigación, y poco a poco debió responder a otras preguntas siempre más complicadas: ¿Cuál es la superficie de este campo? ¿De cuántos días está constituido el año? ¿A qué distancia de nosotros están el Sol, la Luna y las estrellas? ¿Cuál es la velocidad
La adición estaría ya terminada; pero en la canaleta de las unidades hay más de 10 piedritas, entonces quitaban 10 de ellas y agregaban una en el surco de las decenas. Ahora se puede leer el resultado: 6 centenas, 8 decenas y 2 unidades.
Las "cuatro operaciones", que hoy aprendemos fácilmente desde niños en las escuelas primarias, debieron ser inventadas una por una, y esto costó un trabajo considerable. Muchos siglos pasaron sin duda, desde la primera invención de los números, antes de que los hombres lograran calcular las sumas, las diferencias, los productos y los cocientes. Las operaciones aritméticas representaron un gran paso adelante para la civilización humana.
Pero luego las cuatro operaciones no bastaron?
Con el transcurso de los siglos la civilización progresó, surgió la técnica, aparecieron otras ciencias como la geometría, la física, la mecánica y la astronomía. Todas ellas se expresaban naturalmente en lenguaje matemático.
La matemática se extendió, pues, a otros campos de investigación, y poco a poco debió responder a otras preguntas siempre más complicadas: ¿Cuál es la superficie de este campo? ¿De cuántos días está constituido el año? ¿A qué distancia de nosotros están el Sol, la Luna y las estrellas? ¿Cuál es la velocidad
de una piedra que cae
desde lo alto de una roca? Y mas adelante?¿Cuánto tiempo emplea la luz
de una estrella para llegar a la Tierra? ¿Cuánta energía se libera de
los átomos cuando explota una bomba atómica? ¿Cómo se calcula el
recorrido que debe efectuar un satélite artificial para colocarse en
órbita? ¿Cuál es la flexión de una viga cargada con un determinado peso?
¿Qué dimensiones debe tener la sección de un pilar para soportar una
carga dada?, etc, etc.
Muy interesante es enterarnos como fueron los principios de la geometría, mediante que técnicas se calculaban áreas y perímetros:
Observemos la actividad de los hombres primitivos. Con palos y cuerdas tratan de delimitar un campo... Mientras uno hinca en tierra un palo que señala un punto, otro, a la distancia, clava un palo similar. Tienden luego una cuerda que los une, y nace así la recta o, mejor aún, el segmento de recta. Otro hombre deposita en el suelo, una y ostra vez, una larga caña, mientras un ayudante marca en la tierra el lugar a donde ha llegado el extremo. Así nace además de la noción de segmento, la de su medida. La superficie terrestre es, para esos hombres, lo que nosotros llamamos un plano, y sobre él construyen y limitan las figuras.
El origen de la geometría fue en Grecia, alrededor del año 1000 antes de Cristo, donde nació la geometría tal como la conocemos en nuestros días. Hacia el año 400 antes de Cristo, Platón fundó en Atenas una de esas
Muy interesante es enterarnos como fueron los principios de la geometría, mediante que técnicas se calculaban áreas y perímetros:
Observemos la actividad de los hombres primitivos. Con palos y cuerdas tratan de delimitar un campo... Mientras uno hinca en tierra un palo que señala un punto, otro, a la distancia, clava un palo similar. Tienden luego una cuerda que los une, y nace así la recta o, mejor aún, el segmento de recta. Otro hombre deposita en el suelo, una y ostra vez, una larga caña, mientras un ayudante marca en la tierra el lugar a donde ha llegado el extremo. Así nace además de la noción de segmento, la de su medida. La superficie terrestre es, para esos hombres, lo que nosotros llamamos un plano, y sobre él construyen y limitan las figuras.
El origen de la geometría fue en Grecia, alrededor del año 1000 antes de Cristo, donde nació la geometría tal como la conocemos en nuestros días. Hacia el año 400 antes de Cristo, Platón fundó en Atenas una de esas
escuelas, el Liceo, sobre
cuya puerta escribió estas palabras: "Que nadie entre aquí si no es
geómetra". Los griegos, que tuvieron verdadera pasión por la geometría,
le dieron su forma actual, especialmente por obra de los cuatro grandes:
Tales, Pitágoras, Euclides y Arquímedes. No puede extrañarnos que la
palabra polígono derive del griego polys (mucho) y gonias (ángulos), es
decir figura con muchos ángulos.
Los egipcios y los babilonios habían hallado la razón existente entre la circunferencia y su diámetro, y habían establecido que es igual a 3,14. Los griegos buscaron una aproximación mayor de esa cifra, y llegaron a expresarla como 3,141. El agregado de esa fracción tuvo notable importancia en matemáticas, y ese valor fue llamado a principios del siglo XVIII, "pi griego", y se lo indicó con esa letra del alfabeto: ?, inicial de la palabra griega periphereias que significa circunferencia.
El gran aporte de los matemáticos griegos se sitúa a nivel del razonamiento. Fueron los primeros en introducir la demostración, sucesión de afirmaciones tales que el paso de una a la siguiente no deje lugar a ninguna duda, y gracias a esto se puede deducir la solución exacta de cualquier problema. Pero todo esto sucedió mucho después de los primeros descubrimientos matemáticos que realizaron.
Pero los griegos no fueron los únicos que se ocuparon de la geometría?
Ángulos y figuras geométricas
Tanto entre los sumerios como entre los
Los egipcios y los babilonios habían hallado la razón existente entre la circunferencia y su diámetro, y habían establecido que es igual a 3,14. Los griegos buscaron una aproximación mayor de esa cifra, y llegaron a expresarla como 3,141. El agregado de esa fracción tuvo notable importancia en matemáticas, y ese valor fue llamado a principios del siglo XVIII, "pi griego", y se lo indicó con esa letra del alfabeto: ?, inicial de la palabra griega periphereias que significa circunferencia.
El gran aporte de los matemáticos griegos se sitúa a nivel del razonamiento. Fueron los primeros en introducir la demostración, sucesión de afirmaciones tales que el paso de una a la siguiente no deje lugar a ninguna duda, y gracias a esto se puede deducir la solución exacta de cualquier problema. Pero todo esto sucedió mucho después de los primeros descubrimientos matemáticos que realizaron.
Pero los griegos no fueron los únicos que se ocuparon de la geometría?
Ángulos y figuras geométricas
Tanto entre los sumerios como entre los
egipcios, los campos
primitivos tenían forma rectangular. También los edificios tenían
plantas rectangulares, y ello obligó a los arquitectos a construir
ángulos rectos. Un alumno de cualquiera de nosotros, no tiene mayor
dificultad en hacerlo, pero el bagaje intelectual de aquellos hombres
era mucho más reducido que el nuestro. ¿Cómo resolvían su problema?
Clavaban en tierra dos palos y señalaban el segmento de recta que ellos
determinaban. Luego ataban a uno de ellos a una cuerda, y, manteniéndola
extendida, marcaban un arco. Ataban después al otro palo, una segunda
cuerda de longitud suficiente y trazaban un nuevo arco que cortaba al
anterior en dos puntos. Bastaba unir esos puntos mediante una cuerda
para obtener cuatro ángulos rectos.
El triángulo rectángulo y la escuadra:
El problema más corriente para un constructor, es el de trazar una perpendicular a una recta por un punto dado. Es decir que el vértice del ángulo recto que debe construirse esté determinado de antemano. La construcción anterior no resuelve tal problema, pero los antiguos geómetras lo solucionaban mediante tres cuerdas: una de ellas tenía una longitud de tres unidades cualesquiera (por ejemplo un palo o una caña). Otra de las cuerdas equivalía a cuatro de tales unidades; y la tercera a cinco. Colocando las tres cuerdas de modo que cada una de ellas sea uno de los lados de un triángulo, se obtendrá siempre un triángulo rectángulo. Lo mismo sucede si las
El triángulo rectángulo y la escuadra:
El problema más corriente para un constructor, es el de trazar una perpendicular a una recta por un punto dado. Es decir que el vértice del ángulo recto que debe construirse esté determinado de antemano. La construcción anterior no resuelve tal problema, pero los antiguos geómetras lo solucionaban mediante tres cuerdas: una de ellas tenía una longitud de tres unidades cualesquiera (por ejemplo un palo o una caña). Otra de las cuerdas equivalía a cuatro de tales unidades; y la tercera a cinco. Colocando las tres cuerdas de modo que cada una de ellas sea uno de los lados de un triángulo, se obtendrá siempre un triángulo rectángulo. Lo mismo sucede si las
longitudes de los lados son
5, 12, 13 unidades. Tales triángulos fueron empleados como verdaderas
escuadras en las construcciones de la antigüedad. Y siguen siendo
empleados por los albañiles.
¿Como nació la fórmula de la superficie de un rectángulo?
En la antigüedad, la tarea de recaudar los impuestos era confiada a los sacerdotes. Cuando mayor era la extensión del campo que labraban, más debían entregar. Para ello debía calcularse el área del campo, o sea la medida de su superficie. Al principio, los sacerdotes habrán hecho tal apreciación a simple vista, o, como solemos decir actualmente a ojo. Pero un día, un sacerdote que observaba a unos obreros que colocaban mosaicos cuadrados, para pavimentar un patio rectangular, notó que, para conocer el número de mosaicos empleados, no era necesario contarlos todos, sino que bastaba con contar los de una hilera y repetir ese número tantas veces como hileras había. Así nació la fórmula del área del rectángulo (multiplicando la base por la altura).
El área del triángulo
Para seguir la evolución del conocimiento geométrico, tomemos un cuadrado o un rectángulo y dividámoslo en cuadraditos iguales. Supongamos que el cuadrado tiene nueve cuadraditos y el rectángulo doce. Diremos entonces que el área del cuadrado el nueve, y la del rectángulo es doce. Cortemos el cuadrado en dos partes iguales, siguiendo una diagonal, obtendremos dos triángulos iguales, cuya área, como podemos comprobar,
¿Como nació la fórmula de la superficie de un rectángulo?
En la antigüedad, la tarea de recaudar los impuestos era confiada a los sacerdotes. Cuando mayor era la extensión del campo que labraban, más debían entregar. Para ello debía calcularse el área del campo, o sea la medida de su superficie. Al principio, los sacerdotes habrán hecho tal apreciación a simple vista, o, como solemos decir actualmente a ojo. Pero un día, un sacerdote que observaba a unos obreros que colocaban mosaicos cuadrados, para pavimentar un patio rectangular, notó que, para conocer el número de mosaicos empleados, no era necesario contarlos todos, sino que bastaba con contar los de una hilera y repetir ese número tantas veces como hileras había. Así nació la fórmula del área del rectángulo (multiplicando la base por la altura).
El área del triángulo
Para seguir la evolución del conocimiento geométrico, tomemos un cuadrado o un rectángulo y dividámoslo en cuadraditos iguales. Supongamos que el cuadrado tiene nueve cuadraditos y el rectángulo doce. Diremos entonces que el área del cuadrado el nueve, y la del rectángulo es doce. Cortemos el cuadrado en dos partes iguales, siguiendo una diagonal, obtendremos dos triángulos iguales, cuya área, como podemos comprobar,
es la mitad del área del cuadrado. Este es el camino por el cual los antiguos recaudadores hallaron el área del triángulo.
Cuando debía determinarse el área de un campo cuya forma no era cuadrada ni rectangular, se procedía a la triangulación, es decir, se lo descomponía en triángulos, y se calculaba el área de cada uno. La suma de todas esas áreas era el área del campo (método que aun suelen emplear los agrimensores).
Longitud de la circunferencia:
Los egipcios trazaban sus circunferencias valiéndose de una cuerda que hacían girar en torno a un punto fijo. La experiencia les había enseñado que cuanto mayor era la cuerda, mayor era la circunferencia que se obtenía, y mayor también el área de circulo que ella limitaba. Un día, desprendieron la cuerda de la estaca en torno de la cual giraba, y la llevaron sobre la circunferencia, para saber cuantas veces cabía en ella. Pudieron comprobar que cabía un poco más de seis veces y un cuarto. Sea cual fuere la longitud de la cuerda el resultado era el mismo. Por lo tanto llegaron a la conclusión de que la longitud de una circunferencia es siempre 6,28 veces mayor que el radio, y por consiguiente basta multiplicar la medida de la cuerda que lo representa por 6,28 para saber cual la longitud de la misma.
El área del círculo:
En primer lugar pensaron que podían hallar el área de un cuadrado y ver cuantas veces tal área cabía en el área del círculo. ¿Qué cuadrado elegiría? ¿Uno
cualquiera? Parecía
razonable tomar el que tuviese como lado el radio de la circunferencia.
Así lo hicieron, y comprobaron que el cuadrado estaba contenido en el
círculo mas de tres veces y menos de cuatro, más o menos tres veces y un
séptimo (actualmente decimos 3,14? veces). Saco entonces en conclusión
que, para calcular el área de un círculo, basta con calcular el área de
un cuadrado construido sobre el radio y multiplicar esa área por 3,14.Cuando debía determinarse el área de un campo cuya forma no era cuadrada ni rectangular, se procedía a la triangulación, es decir, se lo descomponía en triángulos, y se calculaba el área de cada uno. La suma de todas esas áreas era el área del campo (método que aun suelen emplear los agrimensores).
Longitud de la circunferencia:
Los egipcios trazaban sus circunferencias valiéndose de una cuerda que hacían girar en torno a un punto fijo. La experiencia les había enseñado que cuanto mayor era la cuerda, mayor era la circunferencia que se obtenía, y mayor también el área de circulo que ella limitaba. Un día, desprendieron la cuerda de la estaca en torno de la cual giraba, y la llevaron sobre la circunferencia, para saber cuantas veces cabía en ella. Pudieron comprobar que cabía un poco más de seis veces y un cuarto. Sea cual fuere la longitud de la cuerda el resultado era el mismo. Por lo tanto llegaron a la conclusión de que la longitud de una circunferencia es siempre 6,28 veces mayor que el radio, y por consiguiente basta multiplicar la medida de la cuerda que lo representa por 6,28 para saber cual la longitud de la misma.
El área del círculo:
En primer lugar pensaron que podían hallar el área de un cuadrado y ver cuantas veces tal área cabía en el área del círculo. ¿Qué cuadrado elegiría? ¿Uno
Innumerables son las preguntas a las cuales la matemática debió y debe responder, y desde hace mucho tiempo las "cuatro operaciones" no son suficientes para hallar las respuestas; han debido inventarse otras cada vez más complicadas. Muchos estudiosos y pensadores, en todos los tiempos, se han dedicado a este trabajo de invención: desde Pitágoras, Euclides y Arquímedes, que han vivido varios siglos antes de la era cristiana, hasta Descartes, Leibniz, Gauss y muchos otros más cercanos a nosotros. Hoy, la matemática, con todas sus operaciones variadas y complicadas, es una ciencia que tiene infinidad de aplicaciones en todos los campos de la actividad humana, incluso y de manera primordial en la Tecnología.
Todos gozamos del privilegio de la razón, y todos somos capaces de dar muestras de la maravilla de la inteligencia humana.
ARICULO 2.
HISTORIA DE LOS NUMEROS.
Cabe resaltar que el ser humano es incapaz de percibir, en forma directa e inmediata, los grupos mayores a 4 objetos sin un aprendizaje previo; motivo que hace indiscutible que para el hombre este conocimiento era completamente necesario e imprescindible a favor de su supervivencia.
|Egipcios
|Sistema de 10.
|Sumerios y Babilonios
|Sistema de 10 y 60, y fueron quienes
comenzaron a medir el tiempo, como actualmente lo conocemos -60
|minutos, 60 segundos-, y la
partición del círculo en 360º.
|Mayas, Aztecas y Celtas
|Mayas, Aztecas y Celtas
|Sistema de 20 porque contaban los dedos de las manos y los pies.
|Romanos
|Romanos
|Inicialmente tenían un sistema
de 5, es decir que sólo se contaba con una mano. Luego pasaron al
|sistema de 10 gracias a la
influencia que tuvo Egipto en la cultura romana
La razón para que actualmente se utilice un sistema decimal, se deriva principalmente de que ser humano necesitó hacer una representación simbólica del conteo con su propio cuerpo, y para ello se valió básicamente de los 10 dedos de las manos y aunque éste no fue el único sistema utilizado por la humanidad sí fue el más difundido
A medida que el saber humano fue evolucionando, le fue urgente el comenzar a representar las cantidades en forma de dibujos, para seguir en forma precisa los ciclos de la naturaleza, dejar mensajes a sus semejantes o para seguir con la contabilización de sus posesiones que rebasaban la cantidad de 10.
Hasta ese momento el hombre plasmaba en dibujos su forma de vida, los peligros que corrían, cómo era su entorno, las posesiones que tenía, etc. Y las cantidades comenzaron también a plasmarse en símbolos iguales que se limitaban a contar hasta llegar al número que se quería plasmar.
Surgió entonces la representación pictórica de los números, los cuales consistían
La razón para que actualmente se utilice un sistema decimal, se deriva principalmente de que ser humano necesitó hacer una representación simbólica del conteo con su propio cuerpo, y para ello se valió básicamente de los 10 dedos de las manos y aunque éste no fue el único sistema utilizado por la humanidad sí fue el más difundido
A medida que el saber humano fue evolucionando, le fue urgente el comenzar a representar las cantidades en forma de dibujos, para seguir en forma precisa los ciclos de la naturaleza, dejar mensajes a sus semejantes o para seguir con la contabilización de sus posesiones que rebasaban la cantidad de 10.
Hasta ese momento el hombre plasmaba en dibujos su forma de vida, los peligros que corrían, cómo era su entorno, las posesiones que tenía, etc. Y las cantidades comenzaron también a plasmarse en símbolos iguales que se limitaban a contar hasta llegar al número que se quería plasmar.
Surgió entonces la representación pictórica de los números, los cuales consistían
en una consecución de
líneas o puntos consecutivos. Un sistema que para contabilizar hacía muy
difícil la lectura rápida de los números, a diferencia de los grabados
que se referían a los objetos que estaban representando. Por ende,
comenzaron a separar las líneas en grupos de diez. Sin embargo, la
contabilización seguía siendo de difícil lectura.
|Uno |´ |
|Dos |´´ |
|Tres |´´´ |
|Veinte |´´´´´´´´´´ |
| |´´´´´´´´´´ |
Es aquí donde la evolución de la escritura comienza a tener una relevancia en la historia de los números. Con el paso del tiempo, los dibujos o grabados en las cavernas, aquellas que conocemos como las primeras escrituras, pasaron de ser una simple representación del objeto (pictograma) para convertirse también en ideogramas; es decir, que los símbolos pasaron a tener significados más profundos que correspondían a las ideas y cualidades asociadas al objeto representado.
Sin embargo, la escritura, que aquí ya estaba evolucionando para contener significados más amplios aún no tenía asociado un sonido determinado; es decir, sí podía ser nombrada fonéticamente mas ninguno de los símbolos representaba letra alguna, únicamente representaban la idea o el objeto en sí.
De esta manera los primeros sistemas de escritura fueron de carácter pictográfico, ideográfico o una combinación de los dos. Entre estos sistemas de representación podemos encontrar
|Uno |´ |
|Dos |´´ |
|Tres |´´´ |
|Veinte |´´´´´´´´´´ |
| |´´´´´´´´´´ |
Es aquí donde la evolución de la escritura comienza a tener una relevancia en la historia de los números. Con el paso del tiempo, los dibujos o grabados en las cavernas, aquellas que conocemos como las primeras escrituras, pasaron de ser una simple representación del objeto (pictograma) para convertirse también en ideogramas; es decir, que los símbolos pasaron a tener significados más profundos que correspondían a las ideas y cualidades asociadas al objeto representado.
Sin embargo, la escritura, que aquí ya estaba evolucionando para contener significados más amplios aún no tenía asociado un sonido determinado; es decir, sí podía ser nombrada fonéticamente mas ninguno de los símbolos representaba letra alguna, únicamente representaban la idea o el objeto en sí.
De esta manera los primeros sistemas de escritura fueron de carácter pictográfico, ideográfico o una combinación de los dos. Entre estos sistemas de representación podemos encontrar
los jeroglíficos egipcios,
los símbolos de la escritura japonesa y china, la escritura maya, la
escritura azteca y la escritura cuneiforme de los semitas, entre otros.
Con el desarrollo de las comunicaciones entre los pueblos se hizo imperioso crear un sistema de trascripción más sencillo, compacto y que todas las lenguas habladas en Oriente Medio pudiesen utilizar; por esta razón, aproximadamente en el año 1800 a. C. se hicieron los primeros intentos de escritura acrofónica que supuso el uso de pictogramas e ideogramas para expresar sólo el primer sonido de la palabra significada; fue de esta forma que alrededor del año 1600 a. C. nació el alfabeto semítico en el que por ejemplo el pictograma b que representaba casa, cuya palabra pronunciada era “beth”, se convirtió en la idea del sonido “b” y más adelante en la letra que hoy en día conocemos como “b”. Fue de este alfabeto semítico que se derivó años después el alfabeto griego
Las tablillas cuneiformes de Ugarit revelan que hacia el año 1400 a . C. se escribió en diferentes lenguas como la sumeria, acadia e hitita entre otras, utilizando treinta signos que podían ser ya organizados en lo que llamaríamos el alfabeto antiguo, el cual fue simplificado con el paso del tiempo a un total de 22 signos.
No cabe duda que varias formas de escritura o alfabeto durante la historia fueron evolucionando. Desde el alfabeto arameo se dio origen a lo que se conoce hoy en día como el alfabeto sirio o el avéstico en Persia;
Con el desarrollo de las comunicaciones entre los pueblos se hizo imperioso crear un sistema de trascripción más sencillo, compacto y que todas las lenguas habladas en Oriente Medio pudiesen utilizar; por esta razón, aproximadamente en el año 1800 a. C. se hicieron los primeros intentos de escritura acrofónica que supuso el uso de pictogramas e ideogramas para expresar sólo el primer sonido de la palabra significada; fue de esta forma que alrededor del año 1600 a. C. nació el alfabeto semítico en el que por ejemplo el pictograma b que representaba casa, cuya palabra pronunciada era “beth”, se convirtió en la idea del sonido “b” y más adelante en la letra que hoy en día conocemos como “b”. Fue de este alfabeto semítico que se derivó años después el alfabeto griego
Las tablillas cuneiformes de Ugarit revelan que hacia el año 1400 a . C. se escribió en diferentes lenguas como la sumeria, acadia e hitita entre otras, utilizando treinta signos que podían ser ya organizados en lo que llamaríamos el alfabeto antiguo, el cual fue simplificado con el paso del tiempo a un total de 22 signos.
No cabe duda que varias formas de escritura o alfabeto durante la historia fueron evolucionando. Desde el alfabeto arameo se dio origen a lo que se conoce hoy en día como el alfabeto sirio o el avéstico en Persia;
el alfabeto Brhami en
India, el cual se difundió y dio origen a otros alfabetos diferentes en
el área del Tíbet, Indochina e Indonesia; y el nabateo que con el tiempo
se transformó en cúfico, siendo la base de los alfabetos árabes
actuales, etc.
Sin embargo, ninguno de estos alfabetos que han llegado hasta la actualidad poseen vocales, las cuales se suelen indicar aún hoy en día por medio de puntos y rayas, lo que llamamos nosotros las marcas diacríticas o signos ortográficos; ejemplos de ellos son el alfabeto árabe y el alfabeto hebreo, entre otros.
Mas fueron los griegos quienes tomaron la escritura de los fenicios con la que utilizaron signos guturales para representar a las vocales, dando forma a un alfabeto arcaico que permitía que el lenguaje escrito fuera muy parecido al lenguaje hablado.
Hacia el año 800 a. C. los griegos separaron las vocales de las consonantes y las escribieron por separado. Este alfabeto, cuya palabra deriva de las dos primeras letras griegas: alpha y beta, pasó a los etruscos y más adelante a los latinos quienes se encargaron de difundirlo por toda Europa.
Cuatro mil años de prehistoria de las cifras.
[pic]
La historia de las matemáticas ha sido precedida de una larga prehistoria de la que tenemos algunos trazos que se remontan a 4000 años. Los animales superiores y los niños perciben en nuestro mundo dos entidades abstractas fundamentales: el número y la forma. Por lo tanto, la aritmética y la geometría fueron, durante
Sin embargo, ninguno de estos alfabetos que han llegado hasta la actualidad poseen vocales, las cuales se suelen indicar aún hoy en día por medio de puntos y rayas, lo que llamamos nosotros las marcas diacríticas o signos ortográficos; ejemplos de ellos son el alfabeto árabe y el alfabeto hebreo, entre otros.
Mas fueron los griegos quienes tomaron la escritura de los fenicios con la que utilizaron signos guturales para representar a las vocales, dando forma a un alfabeto arcaico que permitía que el lenguaje escrito fuera muy parecido al lenguaje hablado.
Hacia el año 800 a. C. los griegos separaron las vocales de las consonantes y las escribieron por separado. Este alfabeto, cuya palabra deriva de las dos primeras letras griegas: alpha y beta, pasó a los etruscos y más adelante a los latinos quienes se encargaron de difundirlo por toda Europa.
Cuatro mil años de prehistoria de las cifras.
[pic]
La historia de las matemáticas ha sido precedida de una larga prehistoria de la que tenemos algunos trazos que se remontan a 4000 años. Los animales superiores y los niños perciben en nuestro mundo dos entidades abstractas fundamentales: el número y la forma. Por lo tanto, la aritmética y la geometría fueron, durante
mucho tiempo, distintas,
separadas, aunque se mantuvieron como las dos ciencias fundamentales. En
un principio, el conocimiento de los números por el hombre no fue muy
fino. En las sociedades primitivas, no distinguía entre dos conjuntos
equipotentes (con el mismo número de elementos), sino que apenas sabía
contar: uno, dos, muchos. “Muchos” se dice “tres” en latín: esta palabra
subsiste todavía hoy en francés: “très”, pero también “trois”.
El sistema más antiguo consistía en contar con los dedos. Pero, ¿cómo anotar el resultado?
Después contaron y anotaron grandes números echando fichas en una bolsa.
Se dieron cuenta entonces de que bastaban unas simples marcas grabadas sobre una tablilla.
Los Babilonios utilizaron marcas de formas diferentes para designar grandes números. Diversos símbolos colocados en diferentes posiciones bastaban para representar los números más grandes.
Anotaciones a lo largo de las épocas
Las civilizaciones más antiguas observaban las vueltas a la redonda de los astros en el cielo. Sabemos así que los Sumerios de Uruk y de Nippur (- 3000) utilizaban ya un calendario lunar. Y que tuvieron la idea de representar los números por símbolos: la luna representaba la unidad, lunas juntas los números siguientes.
La necesidad de hacer cuentas y de escribirlas les condujo a utilizar abreviaciones más cómodas. La barra vertical u oblicua tiene entonces sentido de unidad (Fenicios, Sirios, Nabateos, Griegos Antiguos, Árabes del Sur, Hindúes).
El sistema más antiguo consistía en contar con los dedos. Pero, ¿cómo anotar el resultado?
Después contaron y anotaron grandes números echando fichas en una bolsa.
Se dieron cuenta entonces de que bastaban unas simples marcas grabadas sobre una tablilla.
Los Babilonios utilizaron marcas de formas diferentes para designar grandes números. Diversos símbolos colocados en diferentes posiciones bastaban para representar los números más grandes.
Anotaciones a lo largo de las épocas
Las civilizaciones más antiguas observaban las vueltas a la redonda de los astros en el cielo. Sabemos así que los Sumerios de Uruk y de Nippur (- 3000) utilizaban ya un calendario lunar. Y que tuvieron la idea de representar los números por símbolos: la luna representaba la unidad, lunas juntas los números siguientes.
La necesidad de hacer cuentas y de escribirlas les condujo a utilizar abreviaciones más cómodas. La barra vertical u oblicua tiene entonces sentido de unidad (Fenicios, Sirios, Nabateos, Griegos Antiguos, Árabes del Sur, Hindúes).
Los conjuntos de cinco,
diez o veinte unidades eran abreviados por símbolos especiales,
eventualmente derivados de su nombre. Todos estos sistemas eran
aditivos, es decir, el número código es la suma de los símbolos
representados.
Los Babilonios (- 2000) se destacan al inventar el sistema sexagesimal: los símbolos de base valen 1, 10, 60, luego 600, 3600, 36000 y así sucesivamente. Este sistema se ha perpetuado hasta nosotros, mediante la astronomía, para las medidas sexagesimales de tiempos y de ángulos.
[pic]Varias civilizaciones han tenido, además, la idea de utilizar las letras de su alfabeto para representar los números. Esto permite dar un sentido a algunos de entre ellos: son los cálculos cabalísticos. El número correspondiente a una letra viene a ser función de la posición de ésta en la palabra; la necesidad de marcar la “nada” se hace sentir. El origen del cero todavía permanece oscuro. Con toda seguridad existe en textos Hindúes del siglo VI donde toma la forma de un punto. En escritos astronómicos griegos, el cero está representado por la letra o inicial de la palabra griega omdem : “nada”.
Los hindúes llamaban al cero sunya, es decir, “el vacío”. Traducido al árabe esto dió sifr, que traducido al latín algunos siglos más tarde dió zefiro. Se olvidó el fi y se obtuvo zéro en francés y cero en español. Este sifr finalmente designó la colección entera de los símbolos que permiten escribir los números, las cifras: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. No puede
Los Babilonios (- 2000) se destacan al inventar el sistema sexagesimal: los símbolos de base valen 1, 10, 60, luego 600, 3600, 36000 y así sucesivamente. Este sistema se ha perpetuado hasta nosotros, mediante la astronomía, para las medidas sexagesimales de tiempos y de ángulos.
[pic]Varias civilizaciones han tenido, además, la idea de utilizar las letras de su alfabeto para representar los números. Esto permite dar un sentido a algunos de entre ellos: son los cálculos cabalísticos. El número correspondiente a una letra viene a ser función de la posición de ésta en la palabra; la necesidad de marcar la “nada” se hace sentir. El origen del cero todavía permanece oscuro. Con toda seguridad existe en textos Hindúes del siglo VI donde toma la forma de un punto. En escritos astronómicos griegos, el cero está representado por la letra o inicial de la palabra griega omdem : “nada”.
Los hindúes llamaban al cero sunya, es decir, “el vacío”. Traducido al árabe esto dió sifr, que traducido al latín algunos siglos más tarde dió zefiro. Se olvidó el fi y se obtuvo zéro en francés y cero en español. Este sifr finalmente designó la colección entera de los símbolos que permiten escribir los números, las cifras: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. No puede
haber números negativos
sin cero. Ni los calculadores Babilonios o Egipcios, ni los pensadores
griegos o después de ellos los matemáticos árabes, dispusieron de la
noción general de números negativos. Los primeros que utilizaron
cantidades negativas fueron los matemáticos hindúes, particularmente
Bramagupta, quienes desde el siglo VII las utilizaron para necesidades
contables. Los bienes estaban representados por números positivos y las
deudas se inscribían como cantidades negativas.
Habrá que llegar a finales del siglo XV para ver aparecer en Occidente seres numéricos no positivos… Se establecieron reglas de utilización de estos seres: la regla de los signos. Sin embargo, se les negó la existencia en tanto seres reales, y por tanto como números. Son designados por numeri absurdi. Incluso Descartes (1596-1650) designa más tarde una raíz no positiva de una ecuación como una raíz falsa. Carnot (1753-1823) escribe: “Para obtener realmente una cantidad negativa aislada, habría que sustraer una cantidad efectiva de cero: operación imposible. ¿Cómo concebir pues una cantidad negativa aislada?”.
La forma actual de nuestras cifras, nuestro sistema decimal, viene pues de la India del Oeste, por mediación de los Árabes. Pero no es hasta el siglo XIII que penetró en Italia, adoptado por los comerciantes de Florencia. Su empleo no se generalizó hasta el siglo XVI.
Es la invención de la imprenta (1440), la que fija finalmente la forma de estos diez símbolos. El uso
Habrá que llegar a finales del siglo XV para ver aparecer en Occidente seres numéricos no positivos… Se establecieron reglas de utilización de estos seres: la regla de los signos. Sin embargo, se les negó la existencia en tanto seres reales, y por tanto como números. Son designados por numeri absurdi. Incluso Descartes (1596-1650) designa más tarde una raíz no positiva de una ecuación como una raíz falsa. Carnot (1753-1823) escribe: “Para obtener realmente una cantidad negativa aislada, habría que sustraer una cantidad efectiva de cero: operación imposible. ¿Cómo concebir pues una cantidad negativa aislada?”.
La forma actual de nuestras cifras, nuestro sistema decimal, viene pues de la India del Oeste, por mediación de los Árabes. Pero no es hasta el siglo XIII que penetró en Italia, adoptado por los comerciantes de Florencia. Su empleo no se generalizó hasta el siglo XVI.
Es la invención de la imprenta (1440), la que fija finalmente la forma de estos diez símbolos. El uso
de la coma para anotar los números “reales” no se extiende hasta el siglo XVII.
Las cuatro operaciones son conocidas ya por los Egipcios.
• Un bastón vale 1 unidad.
• Un hueso vale 10 unidades .
• Una espiral vale 100 unidades.
• La flor de loto vale 1000 unidades.
Finalmente, son los copistas de la Edad Media quienes abrevian y luego deforman la palabra “y”, que se convierte en “+”, mientras que la costumbre de separar en las cuentas el peso de la tara con ayuda de una raya horizontal da lugar al nacimiento del signo “-”. Los signos “+” y “-” aparecen en la Aritmética comercial de Widmann en 1489. Los signos de multiplicación y de división actuales no son introducidos hasta el siglo XVII.
La igualdad está marcada en Europa en el siglo XVII por el símbolo por el cual los astrónomos designan la constelación del Toro, pero también encontramos la palabra latina “aequalis” con todas letras, y es abreviada progresivamente en æ hasta convertirse, finalmente, en el signo “=”. Parece haber sido inventado por el matemático inglés Robert Recorde (1510-1558), profesor en Oxford y en Londres. El símbolo designa por entonces el número 1000. Y será J. Wallis quien, hacia 1660, lo eleva al rango de “infinito”; anteriormente, esta noción de infinito no tenía existencia.
JERARQUIA DE LAS OPERACIONES
Se efectúan primero el contenido de los paréntesis. De las operaciones, la de mayor prioridad es la potenciación, seguida de la multiplicación y las división
Las cuatro operaciones son conocidas ya por los Egipcios.
• Un bastón vale 1 unidad.
• Un hueso vale 10 unidades .
• Una espiral vale 100 unidades.
• La flor de loto vale 1000 unidades.
Finalmente, son los copistas de la Edad Media quienes abrevian y luego deforman la palabra “y”, que se convierte en “+”, mientras que la costumbre de separar en las cuentas el peso de la tara con ayuda de una raya horizontal da lugar al nacimiento del signo “-”. Los signos “+” y “-” aparecen en la Aritmética comercial de Widmann en 1489. Los signos de multiplicación y de división actuales no son introducidos hasta el siglo XVII.
La igualdad está marcada en Europa en el siglo XVII por el símbolo por el cual los astrónomos designan la constelación del Toro, pero también encontramos la palabra latina “aequalis” con todas letras, y es abreviada progresivamente en æ hasta convertirse, finalmente, en el signo “=”. Parece haber sido inventado por el matemático inglés Robert Recorde (1510-1558), profesor en Oxford y en Londres. El símbolo designa por entonces el número 1000. Y será J. Wallis quien, hacia 1660, lo eleva al rango de “infinito”; anteriormente, esta noción de infinito no tenía existencia.
JERARQUIA DE LAS OPERACIONES
Se efectúan primero el contenido de los paréntesis. De las operaciones, la de mayor prioridad es la potenciación, seguida de la multiplicación y las división
y, para terminar, la suma y la resta. Si hay paréntesis anidados, se efectúan de dentro hacia fuera.
A la hora de realizar los cálculos matemáticos tenemos que tener en cuenta que operaciones se hacen antes que otras.
Si intentamos resolver la siguiente operación 6+4*5 debemos tener en cuenta cual de las dos soluciones es la correcta:
solución a) 6+4=10 10*5=50 incorrecto
solución b) 4*5=20 6+20=26 CORRECTO
Debemos tener muy claro que la operación correcta es la solución b),6+4*5=26, debido a que la multiplicación se debe realizar antes que la suma.
La solución a) es un error, pues no podemos hacer antes la suma que la
A la hora de realizar los cálculos matemáticos tenemos que tener en cuenta que operaciones se hacen antes que otras.
Si intentamos resolver la siguiente operación 6+4*5 debemos tener en cuenta cual de las dos soluciones es la correcta:
solución a) 6+4=10 10*5=50 incorrecto
solución b) 4*5=20 6+20=26 CORRECTO
OBSERVA LA SIGUIENTE LISTADONDE APARECEN LAS OPERACIONES ORDENADAS SEGÚN EL ORDEN DE UTILIZACIÓN:
CORCHETES []
PARÉNTESIS ()
POTENCIAS Y RAÍCES
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN
SUMAS Y RESTAS
Mira el siguiente ejemplo: [6*(7+3*5)+18:3-4]*3=
1- CORCHETES, PARENTESIS, MULTIPLICACIÓN
[6*(7+3*5)+18:3-4]=[6*(7+35)+18:3-4]*3
2- CORHETES, PARÉNTESIS, SUMA
A la hora de realizar los cálculos matemáticos tenemos que tener en cuenta que operaciones se hacen antes que otras.
Si intentamos resolver la siguiente operación 6+4*5 debemos tener en cuenta cual de las dos soluciones es la correcta:
solución a) 6+4=10 10*5=50 incorrecto
solución b) 4*5=20 6+20=26 CORRECTO
Debemos tener muy claro que la operación correcta es la solución b),6+4*5=26, debido a que la multiplicación se debe realizar antes que la suma.
La solución a) es un error, pues no podemos hacer antes la suma que la
A la hora de realizar los cálculos matemáticos tenemos que tener en cuenta que operaciones se hacen antes que otras.
Si intentamos resolver la siguiente operación 6+4*5 debemos tener en cuenta cual de las dos soluciones es la correcta:
solución a) 6+4=10 10*5=50 incorrecto
solución b) 4*5=20 6+20=26 CORRECTO
OBSERVA LA SIGUIENTE LISTADONDE APARECEN LAS OPERACIONES ORDENADAS SEGÚN EL ORDEN DE UTILIZACIÓN:
CORCHETES []
PARÉNTESIS ()
POTENCIAS Y RAÍCES
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN
SUMAS Y RESTAS
Mira el siguiente ejemplo: [6*(7+3*5)+18:3-4]*3=
1- CORCHETES, PARENTESIS, MULTIPLICACIÓN
[6*(7+3*5)+18:3-4]=[6*(7+35)+18:3-4]*3
2- CORHETES, PARÉNTESIS, SUMA
[6*(7+35)+18:3-4]*3=[6*42+18:3-4]*3
3- CORCHETES, MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN
[6*42+18:3-4]*3=[252+6-4]*3
4- CORCHETES, SUMAS, RESTAS
[252+6-4]*3=[254]*3
5- MULTIPLICACIÓN
254*3=762.
254*3=762.
CON LO QUE TENDRÍAMOS:
[6*(7+3*5)+18:3-4]*3=[6*(7+35)+18:3-4]*3=[6*42+18:3-4]*3=
3- CORCHETES, MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN
[6*42+18:3-4]*3=[252+6-4]*3
4- CORCHETES, SUMAS, RESTAS
[252+6-4]*3=[254]*3
5- MULTIPLICACIÓN
254*3=762.
254*3=762.
CON LO QUE TENDRÍAMOS:
[6*(7+3*5)+18:3-4]*3=[6*(7+35)+18:3-4]*3=[6*42+18:3-4]*3=
ARTICULOS.
TABLAS DE MULTIPLICAR
Las Matemáticas son producto del quehacer humano, se han desarrollado a partir de la necesidad de resolver problemas concretos; se busca que el niño adquiera las herramientas funcionales y flexibles que le permitan resolver las situaciones problemáticas que se le planteen.
Aprender la respuesta al problema no proporciona una idea cabal del proceso de resolución, ya que siempre queda pendiente un paso, a partir del cual se generan varias interrogantes; el estudiante identifica este importante paso al reflexionar sobre la forma en que llega la solución del problema.
Al momento de consultar el libro para el maestro de Matemáticas para Tercer Grado, me di cuenta de cómo se abordaban en la escuela primaria los problemas de multiplicación, se hacía de una forma tradicional unidireccional en que el infante era un ser pasivo, receptor del conocimiento, donde aplicaba conocimientos que se le habían enseñado anteriormente; es decir, se le presentaba un problema modelo y de ahí se hacían los demás; los contenidos se trabajaban de una forma aislada, no se estimulaba la búsqueda personal y la creación de procedimientos propios, dando lugar a que no exista la reflexión ni el análisis. La resolución de problemas y la adquisición de conocimientos significativos son procesos que deben avanzar en estrecha relación.
Es por eso que es importante resaltar que la enseñanza de la multiplicación no es única ni principalmente que los alumnos sepan ejecutar las técnicas usuales para calcular resultados; sino que logren una comprensión amplia del sentido de ésta, que puedan aplicarla con flexibilidad
para resolver variedad de
problemas; que sean capaces de proporcionar mentalmente resultados
aproximados y que dispongan de estrategias de cálculo adecuadas.
Dos tipos de problemas de multiplicación.
a) De magnitud: Se multiplican las medidas de dos magnitudes para obtener la medida de un tercera magnitud, por ejemplo: ¿Cuál es el área de un rectángulo que mide 6 cm de ancho por 8 cm de largo?
b) De relación proporcional: Se establece relación proporcional entre dos medidas o más para obtener el resultado, por ejemplo: Si una muñeca cuesta 6 pesos, ¿cuál es el precio de 8 muñecas?
Habilidades y destrezas en la aplicación de la propuesta.
Disfrutar las Matemáticas; identificar las relaciones que hay entre los elementos de una serie numérica; reconocer, seleccionar características en un conjunto de objetos que permitan su clasificación y agrupamiento; seguimiento de instrucciones para poder realizar una serie de actividades; reconocer la información que brinda un problema o situación que se va a usar, es decir, identificar cuáles datos son relevantes o necesarios para resolver un problema y cuáles son superfluos o innecesarios; analizar, comparar, ordenar e interpretar información; usar la información de un problema, saber el aspecto del problema planteado,
Dos tipos de problemas de multiplicación.
a) De magnitud: Se multiplican las medidas de dos magnitudes para obtener la medida de un tercera magnitud, por ejemplo: ¿Cuál es el área de un rectángulo que mide 6 cm de ancho por 8 cm de largo?
b) De relación proporcional: Se establece relación proporcional entre dos medidas o más para obtener el resultado, por ejemplo: Si una muñeca cuesta 6 pesos, ¿cuál es el precio de 8 muñecas?
Habilidades y destrezas en la aplicación de la propuesta.
Disfrutar las Matemáticas; identificar las relaciones que hay entre los elementos de una serie numérica; reconocer, seleccionar características en un conjunto de objetos que permitan su clasificación y agrupamiento; seguimiento de instrucciones para poder realizar una serie de actividades; reconocer la información que brinda un problema o situación que se va a usar, es decir, identificar cuáles datos son relevantes o necesarios para resolver un problema y cuáles son superfluos o innecesarios; analizar, comparar, ordenar e interpretar información; usar la información de un problema, saber el aspecto del problema planteado,
y cuándo y para qué se puede emplear.
Plantear hipótesis a partir de algunas experiencias o de una situación o información dada; verificar, comprobar una hipótesis, un resultado, una operación, etc. , identificar las operaciones para calcular el resultado exacto; anticipar o predecir resultados de un problema; calcular mentalmente resultados; probar, uno tras otro, posibles caminos o soluciones hasta lograr avanzar en la solución o resolver el problema.
Simbolizar los elementos de un problema, con objetos, dibujos, expresiones, diagramas, etc. para representar cantidades y procesos; manipular objetos concretos; relacionar, asociar, clasificar, ordenar, medir o relacionar objetos matemáticos, diseñar la estrategia con la que va a resolver un problema, utilizar de manera flexible y creativa conocimientos aritméticos para resolver problemas.
Hacer cuentas por escrito o con calculadora, como sumas, restas, multiplicaciones; explicar verbalmente, verificar, de manera escrita, oral o gráfica, los procesos seguidos para realizar una actividad o para resolver algún problema o situación; comentar, explicar, discutir un proceso; encontrar semejanzas de estructuras o de procesos; encontrar reglas, plantear preguntas, buscar procedimientos con base a resultados; observar, identificar, describir situaciones problemáticas; inventar, crear o plantear problemas; formular una situación que tenga sentido y que presente una o varias preguntas que pongan en juego un contenido matemático previamente especificado; trabajar en equipo con sus compañeros, jugar y construir aprendizajes a través del juego.
Plantear hipótesis a partir de algunas experiencias o de una situación o información dada; verificar, comprobar una hipótesis, un resultado, una operación, etc. , identificar las operaciones para calcular el resultado exacto; anticipar o predecir resultados de un problema; calcular mentalmente resultados; probar, uno tras otro, posibles caminos o soluciones hasta lograr avanzar en la solución o resolver el problema.
Simbolizar los elementos de un problema, con objetos, dibujos, expresiones, diagramas, etc. para representar cantidades y procesos; manipular objetos concretos; relacionar, asociar, clasificar, ordenar, medir o relacionar objetos matemáticos, diseñar la estrategia con la que va a resolver un problema, utilizar de manera flexible y creativa conocimientos aritméticos para resolver problemas.
Hacer cuentas por escrito o con calculadora, como sumas, restas, multiplicaciones; explicar verbalmente, verificar, de manera escrita, oral o gráfica, los procesos seguidos para realizar una actividad o para resolver algún problema o situación; comentar, explicar, discutir un proceso; encontrar semejanzas de estructuras o de procesos; encontrar reglas, plantear preguntas, buscar procedimientos con base a resultados; observar, identificar, describir situaciones problemáticas; inventar, crear o plantear problemas; formular una situación que tenga sentido y que presente una o varias preguntas que pongan en juego un contenido matemático previamente especificado; trabajar en equipo con sus compañeros, jugar y construir aprendizajes a través del juego.
Construcción de los conocimientos
Anteriormente las habilidades matemáticas se adquirían observando al profesor y después practicando muchas veces, actualmente se enfocan más a la resolución de problemas en situaciones reales en donde el estudiante se ve involucrado activamente.
Para la construcción de los conocimientos los niños parten de experiencias concretas. El diálogo, la interacción y la confrontación de puntos de vista ayudan al aprendizaje; los escolares siempre tienen conocimientos para resolver un problema aún antes de conocer la operación que los puede resolver.
El maestro debe de ser poseedor de una gran gama de conocimientos matemáticos para poder brindar a sus alumnos una educación de calidad. Descubrir las posibilidades de la propia capacidad para entender, razonar y aplicar correctamente los conocimientos adquiridos, son acciones que, convertidas en hábitos, facilitarán la capacidad del alumno para enfrentarse a la detección y resolución de problemas en los distintos ámbitos en que se desenvolverá.
Se dice en el lenguaje popular que en esta vida hay tres lugares que influyen de gran manera a la formación del individuo: El primero de éstos y uno de los más importantes en donde pasa la mayor parte de su vida, podría decirse que desde que nace hasta que muere, es el hogar.
Posteriormente, acude a la escuela, que es donde aprende de una manera sistemática y organizada, se apropia de herramientas útiles que le ayudan a desenvolverse de una mejor manera en su vida, es donde adquiere una formación de hábitos y costumbres que le van formando como una persona
de bien.
El tercer lugar importante donde se forma el individuo es el contexto mejor conocido como "La calle"; es ahí donde obtiene un sin fin de conocimientos, y experiencias, pone en práctica lo aprendido en la escuela, éste varía de acuerdo al contexto en el que se desenvuelve; la formación que recibe un niño del campo es diferente a la que recibe un pequeño de la ciudad; uno sabrá hacer trabajos y labores de acuerdo a su hábitat tales como: Sembrar, cortar leña, cuidar animales, etc.; en cambio el de la ciudad puede adquirir conocimientos tecnológicos como son el uso de algunos aparatos, los video juegos, mejor conocidos como maquinitas, computadoras, teléfonos, etc.
Cuando los pequeños se ponen a jugar con sus amiguitos, utilizan estrategias aprendidas en la escuela, dependiendo de la diversión, tales como: Hacer agrupamientos, intercambios, solucionar pequeñas situaciones problemáticas, en ocasiones ni cuenta se dan cuando utilizan las Matemáticas para dar sus respuestas o desenvolverse mejor, o como luego dicen "Que no los hagan mensos".
Recomendaciones en la resolución de problemas de multiplicación.
Durante el desarrollo de la propuesta didáctica obtuve un sin fin de experiencias enriquecedoras para mi formación docente. Con base a la información recabada durante la aplicación de la secuencia didáctica, me permito hacer las siguientes sugerencias:
A los niños:
Vean en su libro de texto un apoyo incondicional para obtener los conocimientos necesarios para enfrentarse con herramientas precisas a las diferentes situaciones problemáticas que les presenta la vida.
Realicen
El tercer lugar importante donde se forma el individuo es el contexto mejor conocido como "La calle"; es ahí donde obtiene un sin fin de conocimientos, y experiencias, pone en práctica lo aprendido en la escuela, éste varía de acuerdo al contexto en el que se desenvuelve; la formación que recibe un niño del campo es diferente a la que recibe un pequeño de la ciudad; uno sabrá hacer trabajos y labores de acuerdo a su hábitat tales como: Sembrar, cortar leña, cuidar animales, etc.; en cambio el de la ciudad puede adquirir conocimientos tecnológicos como son el uso de algunos aparatos, los video juegos, mejor conocidos como maquinitas, computadoras, teléfonos, etc.
Cuando los pequeños se ponen a jugar con sus amiguitos, utilizan estrategias aprendidas en la escuela, dependiendo de la diversión, tales como: Hacer agrupamientos, intercambios, solucionar pequeñas situaciones problemáticas, en ocasiones ni cuenta se dan cuando utilizan las Matemáticas para dar sus respuestas o desenvolverse mejor, o como luego dicen "Que no los hagan mensos".
Recomendaciones en la resolución de problemas de multiplicación.
Durante el desarrollo de la propuesta didáctica obtuve un sin fin de experiencias enriquecedoras para mi formación docente. Con base a la información recabada durante la aplicación de la secuencia didáctica, me permito hacer las siguientes sugerencias:
A los niños:
Vean en su libro de texto un apoyo incondicional para obtener los conocimientos necesarios para enfrentarse con herramientas precisas a las diferentes situaciones problemáticas que les presenta la vida.
Realicen
las tareas con empeño y entusiasmo, ya que éstas les ayudarán a reafirmar los conocimientos obtenidos en el aula.
Aprovechen al máximo el trabajo en equipo, ya que en él pueden compartir sus experiencias, contrastar puntos de vista, para lograr una buena construcción del conocimiento.
Traten de reflexionar, analizar y razonar en las múltiples situaciones problemáticas que les brinda la vida.
Pidan a sus padres un poco de tiempo para que los orienten en la realización de sus tareas.
A los padres de familia:
* Comprendan que la escuela no es la única responsable de la educación de sus hijos, sino que requiere de su apoyo decidido y permanente en la elaboración de las actividades que surjan para que el aprendizaje de sus hijos siga progresando.
* Apoyen a sus niños en todo lo que puedan, conviértanse en sus amigos.
* Dediquen más tiempo al cuidado de sus vástagos y al apoyo en la realización de las tareas escolares.
A los maestros:
* Revaloren la importancia de las Matemáticas en la formación de sus alumnos.
* Traten de buscar mayor acercamiento con los padres de familia.
* En el diseño y desarrollo de los contenidos tomen en cuenta el enfoque y los propósitos de educación primaria.
* Hagan uso de los materiales curriculares.
* Elaboren y utilicen material didáctico que resulte atractivo y novedoso para sus alumnos y que propicie un aprendizaje significativo.
Aprovechen al máximo el trabajo en equipo, ya que en él pueden compartir sus experiencias, contrastar puntos de vista, para lograr una buena construcción del conocimiento.
Traten de reflexionar, analizar y razonar en las múltiples situaciones problemáticas que les brinda la vida.
Pidan a sus padres un poco de tiempo para que los orienten en la realización de sus tareas.
A los padres de familia:
* Comprendan que la escuela no es la única responsable de la educación de sus hijos, sino que requiere de su apoyo decidido y permanente en la elaboración de las actividades que surjan para que el aprendizaje de sus hijos siga progresando.
* Apoyen a sus niños en todo lo que puedan, conviértanse en sus amigos.
* Dediquen más tiempo al cuidado de sus vástagos y al apoyo en la realización de las tareas escolares.
A los maestros:
* Revaloren la importancia de las Matemáticas en la formación de sus alumnos.
* Traten de buscar mayor acercamiento con los padres de familia.
* En el diseño y desarrollo de los contenidos tomen en cuenta el enfoque y los propósitos de educación primaria.
* Hagan uso de los materiales curriculares.
* Elaboren y utilicen material didáctico que resulte atractivo y novedoso para sus alumnos y que propicie un aprendizaje significativo.
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